ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$

El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o columnas, que conocéis como método de Gauss. Sería el siguiente: Sea $A$ la matriz, y consideremos la matriz formada por $[A\, |\, I_n]$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que

$$[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],$$

entonces $B$ es la inversa de $A$.

No siempre podemos conseguir la inversa, bien por que la matriz no sea cuadrada o por que no tenga. Entonces tenemos que plantearnos la posibilidad de encontrar una matriz, para cualquier matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, talque
$$AR=I_m$$ o $$LA=I_n.$$
En caso de existir, denominamos a $R\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la derecha de la matriz $A$; y a $L\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})$, matriz pseudoinversa por la izquierda de la matriz $A$.

Un resultado que utilizaremos:

Una matriz $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ tiene pseudoinversa por la derecha(izquierda) si, y sólo si, $rang(A)=m$ ($rang(A)=n$)

En caso de existir la pseudoinversa, entonces esta la calcularemos mediante $$R=A^t(AA^t)^{-1},$$
o
$$L=(A^tA)^{-1}A^t.$$

Ejercicio:
Descubre cuál de las matrices es semejante por transformaciones elementales a la matriz $\left[\begin{smallmatrix}1& 2 & -1\\ 0& -1 & 3\\ 0& 1& 4\end{smallmatrix}\right]$

(A) $\left[\begin{smallmatrix}1 & -1& 2\\ 0& 3& -1 \\ 0& -4& 1\end{smallmatrix}\right]$(B) $\left[\begin{smallmatrix} 0& -1 & 3\\1& 2 & -1\\ 4& 1& 0\end{smallmatrix}\right]$C) $\left[\begin{smallmatrix}-1& 2 & 1\\ 3& -1 & 0\\ 7& 0& 0\end{smallmatrix}\right]$
This entry was written by admin , posted on martes octubre 08 2019at 08:10 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

Comments are closed.