MAD: Máximo común divisor

Comenzamos explicando El algoritmo de la división, que intenta dar consistencia al procedimiento habitual de división entre números enteros, recordando que esta no existe como tal, ya que la división no siempre existe. Sin embargo podemos dar un resultado que nos ayuda a comprender que entendemos por división en los números enteros.

Teorema: Dados dos números enteros $a$ y $b$, con $a$ no nulo, la división euclídea asocia un cociente $q\in\mathbb{Z}$ y un resto $r\in\mathbb{Z}$, únicos, que verifican: $$b=q\,a+r,\quad 0\leq r<|a|$$

El siguiente tema tratado en le máximo común divisor:

Consideremos dos números enteros Si $a$ y $b$ distintos de cero, decimos que $c$ es un divisor común de $a$ y $b$ si $c|a$ y $c|b$. Cuando existen, únicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los números $a$ y $b$ , estos se llaman coprimos o números primos entre sí.

Un número entero $d$ se llama máximo común divisor de los números $a$ y $b$, $d=mcd(a,b)$, cuando:

  1. d es divisor común de los números $a$ y $b$ y
  2. $c$ es divisor de $a$ y $b$, entonces $c|d$.

En la próxima sesión veremos el algoritmo de Euclides como método para calcular el mcd().

 

Ejercicio: Probar que el cuadrado de todo número entero impar puede escribirse de la forma $4k+1$ para algún entero $k$.
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