EFM: Transformada de Laplace

Hoy nos hemos tratado la Transformada de Laplace.

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

F(s)   = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} (s)  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

La transformada de Laplace la utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales de forma más sencilla.

Propiedades de la Transformada de Laplace

  • Linealidad :$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$
  • Derivación:
    • $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} – f(0)$
    • $\mathcal{L}\{f”(t)\}= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} – s f(0) – f'(0)$
    • $\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – s^{n – 1} f(0) – \dots – f^{(n – 1)}(0) = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – \sum_{i=1}^{n} s^{n – i} f^{(i – 1)}(0)$
  • Integración: $\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$
  • Dualidad: $\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$
  • Desplazamiento de la frecuencia: $\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)$
  • Desplazamiento temporal:
    • $\mathcal{L}\left\{ f(t – a) u(t – a) \right\}= e^{-as} F(s)$
    • $\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
      = f(t – a) u(t – a)$

    Nota: $u(t)$ es la [[función escalón unitario]].

  • Desplazamiento potencia $n$-ésima:
    $\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$
  • Por ejemplo, veamos como resolver $$y”=c,$$ sujeto a la condición $y(0)=y'(0)=0$
    Aplicando la transformada $$\mathcal{L} \left\{y”\right\} (s)=\mathcal{L} \left\{c\right\} (s).$$
    Sabemos que $$\mathcal{L} \left\{y’\right\} (s)=s\mathcal{L} \left\{y\right\} (s)-y(0^+).$$ Por tanto,
    $$\mathcal{L} \left\{y”\right\} (s)=s\mathcal{L} \left\{y’\right\} (s)-y'(0^+)=s^2\mathcal{L} \left\{y\right\} (s)-sy'(0^+)-y(0^+)=s^2\mathcal{L} \left\{y\right\} (s).$$
    Como sabemos que $$\mathcal{L} \left\{c\right\} (s)=\frac{c}{s},$$ tendremos
    $$s^2\mathcal{L} \left\{y\right\} (s)=\frac{c}{s}$$
    Y por tanto,
    $$\mathcal{L} \left\{y\right\} (s)=\frac{c}{s^3}$$
    Ahora solo necesitamos encontrar una función $y$ tal que su transformada sea $\frac{c}{s^3}$. Para ello solo necesitamos ver que $$\frac{d^2}{d\, s^2}\left(\frac{c}{2s}\right)=\frac{c}{s^3}.$$
    Observemos que
    $$\mathcal{L} \left\{c/2\right\} (s)=\frac{c}{2s},$$ por tanto
    $$\mathcal{L} \left\{y\right\} (s)=\frac{d^2}{d\, s^2}\left(\frac{c}{2s}\right)=\frac{d^2}{d\, s^2}\left(\mathcal{L} \left\{\frac{c}{2}\right\} (s)\right)=(*)=\mathcal{L} \left\{(-1)^2t^2\frac{c}{2}\right\} (s).$$

    Luego $y=c\frac{t^2}{2}$

    (*)Propiedad.

    Ejercicio: Utilizar la transformada de Laplace para resolver la ecuación $y’-5y=0$

    This entry was written by admin , posted on jueves enero 10 2019at 03:01 pm , filed under Ecu. Física Matemática . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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