ALG: Diagonalización de una matriz

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovetores de la matriz. Sea, por tanto, $A$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica es igual a $n$; $b)$ la dimensión del subespacio $\mathcal{C}_{\lambda_i}$ coincide con la multiplicidad del autovalor $\lambda_i$ como solución de la ecuación característica de $A$.

Este resultado nos permite saber si una matriz es diagonalizable, y en caso de serlo encontrar las matrices $D$ y $C$, tales que $D=C^{-1}\,A\,C$.

Si $A$ es diagonalizable, $D$ será la matriz diagonal que tendrá por elementos en su diagonal los autovalores de $A$, y $C$ será la matriz que tiene por columnas los autovectores de $A$.

 

Ejercicio: Calcula las matrices $D$ (diagonal) y $C$, que diagonaliza la matriz real $$\begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
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