ALG: Diagonalización ortogonal

En día de hoy consideramos un caso particular de endomorfismos y matrices que se consideran son simétricos. Para ello definimos un endomorfismo simétrico.

Si consideramos un espacio eunclídeo $\mathcal{E}$, con el producto escalar $\bullet$, se dice que un endomorfismo $f:\mathcal{E}\to\mathcal{E}$ es simétrico si: $$\vec{u}\bullet f(\vec{v})=\vec{v}\bullet f(\vec{u}),\quad\forall \vec{u},\vec{v}\in\mathcal{E}.$$

La característica de un endomorfismo simétrico está asociada a su matriz, que también es simétrica. Pues bien, si tenemos un espacio vectorial finito y la matriz $A$ es la matriz de un endomormismo $f$ en una base ortonormal del espacio, entonces $f$ es simétrico si, y sólo si, $A$ es simétrica.

Este resultado tiene una implicación muy importante, pues en este caso podemos afirmar que $f$ (o más bien su matriz asociada $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$) es diagonalizable ortogonalmente; es decir, existe $D$, matriz diagonal, y $P$ matriz ortogonal tal que $$A=P\,D\,P^{-1}.$$

Una aplicación es al caso de las cónicas. Una cónica es por definición el lugar geométrico de la ecuación:
$$ax^2+by^2+2cxy+dy+fx=e$$
que equivale a
$$[x\,\,y]\begin{bmatrix} a&c\\ b&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}+[d \,\,f]\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=e$$
Como la matriz $A=\begin{bmatrix} a&c\\ b&d\end{bmatrix}$ es diagonalizable, existirá $A=PDP^t$, de modo que
$$e=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]\vec{v}=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]PP^t\vec{v}$$
Si ponemos $P^t\vec{v}=\vec{u}$, la cónica quedará como:
$$e=\vec{u}^tD\vec{u}+[d\,\, f]P\vec{u}.$$
De donde podremos ver que $$e=\lambda_1 \vec{u}_1^2+\lambda_2 \vec{u}_2^2+\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2,$$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de $A$ y $\vec{u}_i$ van en la dirección de la base ortonormal de los autovectores de $A$.

Ejercicio: Probar que la matriz
$$\begin{bmatrix} -1 & 1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&-2\end{bmatrix}$$ es diagonalizable ortogonalmente.
This entry was written by admin , posted on viernes enero 26 2018at 09:01 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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