ALG: Matrices diagonalizables

Si el pasado día vimos cómo diagonalizar una matriz hoy veremos algunas de sus propiedades.
Recordemos que dado $\mathbf {A} \in M^{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades: Si $\mathbf{A}$ es diagonalizable mediante $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$, entonces:

  • $$\mathbf{A}^n=\mathbf{P}\mathbf{D}^n\mathbf{P}^{-1}$$
  • Como $e^\mathbf{A}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {{\mathbf {A}}^{k}}{k!}}$, es $$e^{{\mathbf {A}}}={\mathbf {P}}e^{{\mathbf {D}}}{\mathbf {P}}^{{-1}}$$

Cónicas

Otra aplicación importante es en el estudios de las cónicas. Una cónica es por definición el lugar geométrico de la ecuación:
$$ax^2+by^2+2cxy+dy+fx=e$$
que equivale a
$$[x\,\,y]\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}+[d \,\,f]\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=e$$
Como la matriz $A=\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}$ es diagonalizable, existirá $A=PDP^t$, de modo que
$$e=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]\vec{v}=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]PP^t\vec{v}$$
Si ponemos $P^t\vec{v}=\vec{u}$, la cónica quedará como:
$$e=\vec{u}^tD\vec{u}+[d\,\, f]P\vec{u}.$$
De donde podremos ver que $$e=\lambda_1 \vec{u}_1^2+\lambda_2 \vec{u}_2^2+\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2,$$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de $A$ y $\vec{u}_i$ van en la dirección de la base ortonormal de los autovectores de $A$.

 

Ejercicio: Consideremos la matriz $\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{smallmatrix}\right]$. ¿cuál de la siguientes matrices es una matriz que la diagonaliza:
a)$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{smallmatrix}\right]$
b)$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{smallmatrix}\right]$
c)$\left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right]$

This entry was written by admin , posted on martes diciembre 17 2019at 08:12 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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