ALG: Diagonalización de una matriz

Dado $\mathbf {A} \in M^{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1},$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal.

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz. Sea, por tanto, $\mathbf{A}$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica es igual a $n$; $b)$ para todo autovalor $\lambda_i$, la dimensión del subespacio $\mathcal{C}_{\lambda_i}$ coincide con la multiplicidad del autovalor $\lambda_i$ como solución de la ecuación característica de $A$; es decir, $m_g(\lambda_i)= m_a(\lambda)$

Así pues si $\mathbf{A}$ es diagonalizable, será $\mathbf{D}$ una matriz cuya diagonal principal está formada por los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades

Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.

Dadas dos matrices diagonalizables $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$, son conmutables ($\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).

Toda matriz $\mathbf{A}$ de dimensión $n$ y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores de $\mathbf{A}$

El resultado anterior nos permite formular la definición de diagonalización ortogonal o matriz ortogonalmente diagonalizable: Una matriz cuadrada se dice que es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si es diagonalizable mediante una matriz de $\mathbf{P}$ ortogonal. Por tanto, si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si se puede encontrar una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores ortonormales de $\mathbf{A}$ (que compondrán las columnas de la matriz $\mathbf{P}$).

Teorema: Si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si, y solo si, es simétrica.

Observemos que, aunque podemos hacer ortogonales los autovectores conseguido, no nos garantiza que la la matriz formada por ellos sea ortogonal. Eso solo se producirá en el caso de ser una matriz simétrica.

 

Ejercicio: Consideremos la matriz $\left[\begin{smallmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{smallmatrix}\right]$. Podemos afirmar que:
a)Todos sus autovalores tiene multiplicada geométrica igual a 1.
b)Hay una autovalor con multiplicidad geométrica igual a 2.
c)Hay una autovalor con multiplicidad algebraica menor que su multiplicada geométrica.

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