Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace:
- Sea \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), definimos el determinante de \(A\), como \[|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\]
- Para todo \(n>2\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), definimos \[|A|=\sum _{j=1}^{n}a_{1j}\;A_{1j},\] donde \(A_{1j}=(-1)^{(1+j)}\;\alpha _{1j}\), siendo \(\alpha _{1j}\) el determinante de orden \(n-1\) que queda tras eliminar de la matriz \(A\) la fila 1 y la columna \(j\).
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 0 & 0 & 0\\
1 & i & 0 & 0 \\
-1 & 1 & i & 0 \\
i & 1 & -1 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto es su determinante?
La definición clásica y su significado puede verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades porque serán muy importantes para aprender bien este tema.
Regla de Laplace: El determinante de una matriz es independiente de la fila o columna que elijamos en el paso 2 anterior.
Propiedades de los determinantes: asumamos \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas del mismo orden,
- \(|A|=|A^t|\)
- Si \(B\) es el resultado de hacer una transformación elemental por fila(columna) a la matriz \(A\), \(A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de intercambiar una fila(columna) de la matriz \(A\), \(A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de multiplicar una fila(columna) de la matriz \(A\) por un escalar, \(A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|\)
- \(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{vmatrix}\). De igual modo podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden \(n\).
- \(|A\,B|=|A|\cdot |B|\)
Consecuencia de las propiedades anteriores son estos resultados:
- El determinante de una matriz con una fila, o columna, todo ceros vale cero.
- El determinante de una matriz con dos filas, o columnas, proporcionales vale cero.
Ejercicio: Cuál es el valor del determinante de la matriz \[\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \mathbf{\alpha}\\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{vmatrix}\in\mathcal{M}_n(R).\]
Ejercicio: Cuál es el valor del determinante \[\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 & 2\\
1 & 2 & 3 & 3 & \cdots & 3 & 3\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 4 & 4\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{vmatrix}\]
Menor de una matriz
Un menor de una matriz \(A\) es el determinante de una submatriz cuadrada de \(A\).
Un menor complementario de una matriz \(A\) es el determinante de alguna submatriz, obtenido de \(A\) mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. De este modo designamos mediante \(m_{ij}\) el menor del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\); es decir, el menor resultante de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).
La definición de menor nos da pie a otro resultado muy interesante. Podemos extender la definición de menor para una matriz no cuadrada a cualquier determinante de una submatriz cuadrada. En este caso:
Teorema. Si \(A\) es una matriz, el rango de \(A\) es el orden del mayor menor de \(A\) no nulo.
Hay un tipo de menores muy interesantes. Consideremos una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\) de orden \(n\), los \(n-1\) menores formados de la forma:
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}\quad\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13}\\
a_{21} & a_{22} &a_{23}\\
a_{31} & a_{32} &a_{33}
\end{vmatrix}
\quad\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13}&a_{14}\\
a_{21} & a_{22} &a_{23}&a_{24}\\
a_{31} & a_{32} &a_{33}&a_{34}\\
a_{41} & a_{42} &a_{43}&a_{44}
\end{vmatrix}\ldots\;
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\,n-1}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\,n-1}\\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\
a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & \ldots & a_{n-1\,n-1}
\end{vmatrix}
\]
se les denomina menores principales de \(A\). Recordad que en nuestros ejercicios incluiremos entre los menores principales a \(|a_{11}|\) y \(|A|\).
Ejercicio: Sea \(A\)=[[1,1],[1,0],[-1,0]], y \(L\) la pseudoinversa talque \(LA=I\). ¿Cuánto suman los elementos de la segunda fila de \(L\)? |