ALG: Producto escalar, norma, producto vectorial y mixto

Hoy hemos trabajado con la definición del producto escalar y norma en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, aunque por extensión se puede hacer para $\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad.

Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que más tarde utilizaremos. Por último hemos definido el producto mixto de tres vectores de $\mathbb{R}^3$.

Además hemos aprendido a expresar de una nueva forma un plano afín en $\mathbb{R}^3$, si $\pi:\{P+\lambda\vec{v}+\mu\vec{u}|P\in\mathbb{R}^3, \vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^3,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}$, llamamos forma general a $$(x-p_1,y-p_2,z-p_2)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0.$$

El símbolo $\times$ hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
$$\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}$$

El producto escalar nos da pie a definir la norma de un vector como la raíz cuadrada de el producto escalar de un vector por si mismo: $$||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\bullet\vec{v}}$$

En el caso de $\mathbb{R}^n$:
$$||(v_1,v_2,\ldots,v_n)||=\sqrt{v_1^2 +v_2^2+\ldots + v_n^2}$$
Con la norma podemos definir la distancia entre dos puntos $P$ y $Q\in \mathbb{R}^3$ como:
$$d(P,Q)=||\vec{QP}||=\sqrt{(q_1-p_1)^2 +(q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}$$
Del mismo modo definimos la distancia de una recta $r=\{P+<\vec{v}>\}\in \mathbb{R}^3$ a un punto $Q$ como:
$$d(Q,r)=\frac{||\vec{PQ}\times\vec{v}||}{||\vec{v}||}$$
Sin embargo, si queremos calcular la distancia entre un punto $P$ y el plano $\pi:ax+by+cz+d=0$, que no lo contiene, lo haremos mediante:
$$d(P,\pi)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Ejercicio: Dados $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in\mathbb{R}^3$, es $\vec{x}\cdot(\vec{y}\times\vec{z})=(\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z}$.
This entry was written by admin , posted on miércoles noviembre 28 2018at 12:11 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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