ALG: el plano afín $\mathbb{R}^2$ y el espacio afín $\mathbb{R}^3$

Hoy comenzamos intentando definir un espacio donde podamos fijar los vectores de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín.

Podemos definir el plano afín $\mathbb{R}^2$ como el conjunto $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto $\mathbb{R}^2$, como $\mathbb{R}$-espacio vectorial, más una aplicación especial $\phi$. Para notar los elementos de $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos $P=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ escribimos como habitualmente hacemos, $\vec{v}=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2$, y les denominamos vectores del plano. La aplicación $\phi$ irá del producto cartesiano $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ de los puntos en el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$; es decir, relacionará dos puntos con un vector.

Con estos dos conjuntos, la aplicación $\phi$ debe verificar:

  1. $\phi(P,Q)+\phi(Q,R)=\phi(P,R)$ para todo $P,Q,R\in\mathbb{R}^2$
  2. Dado cualquier punto $P\in\mathbb{R}^2$, y cualquier vector $\vec{v}\in\mathbb{R}^2$, existe un único punto $Q\in\mathbb{R}^2$ tal que $\phi(P,Q)=\vec{v}$.

Estas propiedades nos definen a $\mathbb{R}^2$ como un espacio afín sobre el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, que denominamos el plano afín.

Esta definición podemos trasladarla sin problemas al $\mathbb{R}^3$ definiendo el espacio afín.

Con esta definición podemos abordad las variedades afines dadas por la recta en el plano afín, y, la recta y el plano, en el espacio afín. El objetivo de hoy ha sido trabajar con estas variedades, consiguiendo sus ecuaciones paramétricas e implícitas.

Así veremos que las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano afín que pasa por un punto $P(p_1,p_2)$ y que tiene por subespacio director el generado por el vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$, vendrá dada de la forma: $$r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\lambda(v_1,v_2),\lambda\in\mathbb{R}\}$$

Del mismo modo probamos que la ecuación implícita de la recta en el plano afín que pasa por los puntos $P(p_1,p_2)$ y $Q(q_1,q_2)$ vendrá dada por el determinante:
$$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ p_1 & p_2 & 1\\ q_1 & q_2 & 1 \end{vmatrix}=0$$

Trasladar lo anterior al espacio afín resulta sencillo. Una recta en el espacio afín que pasa por un punto $P(p_1,p_2,p_3)$ y que tiene por subespacio director el generado por el vector $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, vendrá dada de la forma: $$r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3),\lambda\in\mathbb{R}\}$$

Y si queremos la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto $P(p_1,p_2,p_3)$ y que tiene por subespacio director el generado por los vectores $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ y $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, vendrá determinado por el determinante $$\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0$$

Ejercicio: Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos P(-2,1,6) y Q(2,3,4).
This entry was written by admin , posted on lunes noviembre 26 2018at 09:11 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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