ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso contrario se dice que se cruzan.

Si conocemos las ecuaciones implícitas de las dos variedades, el conjunto $L_1\cap L_2$ viene dado por los puntos cuyas coordenadas, respecto del sistema de referencia considerado, son las soluciones del sistema que resulta de reunir todas las ecuaciones implícitas. Si denotamos por $n=dim(E)$, siendo $E$ el espacio afín, $r=dim(L_1)$ y $s=dim(L_2)$, y suponiendo que $r\leq s$, el sistema formado por todas las ecuaciones es un sistema de $2n-r-s$ ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial: $AX=B$. Según que el rango de la matriz de coeficientes coincida con el rango de la ampliada obtenemos la diferencia entre variedades que se cortan o que no se cortan. Si $rg(A)$ es $n-r$, entonces la dimensión de $C_1\cap C_2$ será $r$ y por tanto $C_1\cap C_2=C_1$, con lo que $C_1\subseteq C_2$.

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

 

Ejercicio: Estudiar la posición relativa de las variedades lineales afines de $\mathbb{R}^4$: $\pi_1:\, x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $\pi_2:\, x_1=x_2=x_3=x_4$
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