ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) .

El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

Así un sistema será:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Compatible \\
rang(A)=rang(A|B)
\end{array}\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Determinado \\
rang(A)=\mbox{Número de incógnitas}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
Indeterminado \\
rang(A)<\mbox{Número de incógnitas} \end{array} \\ \end{array}\right.\\ \begin{array}{c} Incompatible \\ rang(A)\neq rang(A|B) \end{array}\\ \end{array}\right. $$ Para resolver un sistema compatible sólo tenemos que encontrar un menor de $A$ distinto de cero y del mismo orden que en rango de $A$. Supongamos que $\bar{A}$ es la submatriz de $A$ cuyo menor es el que buscamos. Entonces $A|B$ se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz $$(A|B)\sim\left(\begin{array}{c} \bar{A}\,\bar{P}\\ 0\end{array}\left|\begin{array}{c} \bar{B}\\ 0\end{array}\right.\right)$$ Donde $\bar{P}$ son o $0$ o las columnas de la martiz $A$ tales que $$rang(A)+\mbox{nºcolumnas}(\bar{P})=\mbox{Número de incógnitas}.$$ De este modo el sistema tendrá por solución $$\bar{X}=inv(\bar{A})\cdot (\bar{B}-\bar{P}K),$$ donde $K$ son las variables, en forma de parámetros, que faltan en el menor de $\bar{A}$, y tales que $X^t=(\bar{X}^t K^t)$. Utilizar las ecuaciones implícitas nos sirve para encontrar con más facilidad la intersección de dos subespacios: $S\cap$ estará formado por las ecuaciones implícitas de $S$ más la de $T$.

Ejercicio: Discutir cuando el sistema ax+by+z=1, x+3by+z=b, x+by+az=1, es compatible y determinado, dependiendo de los valores de a y b.
This entry was written by admin , posted on miércoles diciembre 20 2017at 09:12 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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