ALG: Espacio Euclídeo

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o variedadas.

Objetivos

  • Conocer y saber determinar un producto escalar y sus propiedades.
  • Saber calcular la matriz de Gram o métrica de un producto escalar
  • Conocer y saber determinar la norma de un vector y sus propiedades.
  • Conocer y determinar vectores ortogonales y ortonormales y sus propiedades.
  • Calcular bases ortonormales.
  • Conocer el espacio vectorial euclídeo canónico Rn
  • Conocer y determinar una proyección ortogonal de un vector.
  • Saber calcular el complemento ortogonal de un subespacio y sus propiedades.
  • Conocer y saber calcular transformaciones y matrices ortogonal y sus propiedades

Para ello comenzamos con la definición del producto escalar en un espacio vectorial, la norma de un vector, distancia entre dos vectores y el ángulo de dos vectores.

Recordad que este tema lo estamos basando en el Capítulo 8 del libro Álgebra lineal. Definiciones, Teoremas y Resultados, de Juan de Burgos, Ingebook.

Ejercicio: Sea $\mathbb{R}_2[X]$, el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1]. Probar que la aplicación $p\bullet q$, que dados p=p0+p1x+p2x2, y, q=q0+q1x+q2x2, le hace corresponder

$p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx$

es un producto escalar. Calcular el coseno de los polinomios $p(x)=x^2+2$, $q(x)=x-x^2$

This entry was written by admin , posted on miércoles enero 10 2018at 09:01 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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