ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$

Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican.

Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de dar sentido a las estructuras que conocemos de unir puntos con vectores. Ahora ya podemos hablar de rectas de puntos en el plano, o planos de puntos en el espacio.

Como en el caso de las variedades lineales podemos encontrar la variedad afín definida por las ecuaciones paramétricas o implícitas.

La introducción de las variadedes nos lleva a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para resolverlas utilizamos las matrices. Así todo sistema de ecuaciones lineales lo podemos plantear como un sistema matricial de la forma Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema, x es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes:

Para tratarlos mejor podemos intentar transformalos en sistemas escalonados, que es resultado de transformar la matriz ampliada [A b], mediante operaciones elementales de fila, en una matriz escalonada. Es te el método que conocemos como método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones más sencillos resultan aquellos que podemos emplear la regla de Cramer.

La importancia de Teorema de Rouché-Frobenius estriba en que determina cuando un sistema tiene solución o no. Este resultado junto con el anterior nos permiten resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones como los ejercicios que hemos realizado.

 

Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas e implícitas de la variedad afín dada por el punto P(1,0,-1,1) y el subespacio generado por los vectores $\vec{v}=(1,1,2,1)$, $\vec{u}=(-1,0,0,1)$.
This entry was written by admin , posted on viernes diciembre 15 2017at 08:12 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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