ALG: Complemento ortogonal
Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $\mathcal{E}$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $\mathcal{E}$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$
Proposición. Si $S\subset E$, es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $S^\bot$ es un subespacio vectorial.
Proposición. Si $S,T\subset \mathcal{E}$, son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, y $T\subset S$ entonces $S^\bot \subset T^\bot$.
Proposición. Si $S,T\subset \mathcal{E}$, son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces
- $(S+T)^\bot=S^\bot \cap T^\bot$.
- $(S\cap T)^\bot=S^\bot + T^\bot$.
Proposición. Si $S\subset \mathcal{E}$, es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}$$
Corolario. Si $S\subset \mathcal{E}$, es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$dim(\mathcal{E})=dim(S)+ dim(S^{\bot})$$
Esta última Proposición nos dice que $\mathcal{E}$ es suma directa de $S$ y $S^{\bot}$; es decir, para todo $\vec{v}\in \mathcal{E}$ existen dos únicos vectores $\vec{s}_1\in S$ y $\vec{s}_2\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{s}_1+\vec{s}_2.$$
| Ejercicio: Sea B={(2,1,1),(1,0,10),(2,-3,11)} una base de $\mathbb{R}^3$, ¿cuál es el vector que falta para que, junto a los vectores (2,1,1) y (-3,-2,8), formen una base ortogonal? a) $\tfrac{1}{7}$(-10,19,*) b) $\tfrac{1}{7}$(*,-19,1) c) $\tfrac{1}{7}$(10,*,-1) |