ALG: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
El principal resultado de esta sección es el que justifica que de toda base de un subespacio vectorial se puede obtener una base de vectores del mismo subespacio que sean ortogonales y normales. Esta base será una base ortonormal.
El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
El proceso nos dice que si $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, los vectores
- $\vec{u}_1=\vec{v}_1$
- $\vec{u}_k=\vec{v}_k-\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\vec{u}_i\bullet \vec{v}_k}{||\vec{u}_i||^2}\vec{u}_i\,\forall 2\leq k\leq n$
forman una base ortogonal del subespacio. De este modo, el siguiente conjunto es una base ortonormal del subespacio $$\left\{\frac{\vec{u}_1}{||\vec{u}_1||},\frac{\vec{u}_2}{||\vec{u}_2||},\ldots,\frac{\vec{u}_n}{||\vec{u}_n||}\right\}$$
| Ejercicio: Sean dos vectores tales que $\vec{x}\perp\vec{y}$, entonces una de estas afirmaciones es falsa: a) $||\vec{x}+\vec{y}||^2=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2$ b) Son linealmente independientes. c) Forman un ángulo recto. d) Una de las anteriores es falsa. |