ALG: Homomorfismo

Además definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicación que conserva la operación interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicación $f:G_1\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\circ f(w).$$

Establecer un homomorfimos entre dos grupos no permite utilizar ciertas propiedades muy útiles:

Dados los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, $f:G_1\to G_2$, si existe un homomorfismo entre ellos se cumple:

  • $f(e_{G_1})=e_{G_2}$, siendo $e_{G_1}$ y $e_{G_2}$ los elementos neutros de $G_1$ y $G_2$, respectivamente
  • $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}, \forall a\in G_1 $

Otra definición muy interesante es la de núcleo de un homomorfismo. Definimos núcleo de un homomorfismo,$f:G_1\to G_2$, y lo notaremos como $Ker(f)$, al conjunto
$$Ker(f)=\{a\in G_1;\, f(a)=e_{G_2}\}$$

Propiedad: Si $f:G_1\to G_2$, es un homomorfismo entre los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, entonces es inyectivo si, y solo si, $Ker(f)=\{e_{G_1}\}$

A un homomorfismo inyectivo lo llamamos monomorfismo. Si es suprayectivo se denomina epimorfismo, y en caso de ser ambos es isomorfismo.

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA BÁSICA Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook
Ejercicio: Probar que la aplicación $f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{R}_0,\cdot)$, definida mediante $$f(n)=e^n$$ es un homomorfismo de grupos.
This entry was written by admin , posted on miércoles noviembre 07 2018at 12:11 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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