ALG: Matriz de Gram y ortogonalidad

El pasado día definimos el producto escalar y la norma de un espacio euclídeo. La métrica que define el producto escalar puede se usada mediante la matriz de Gram. Sea $(E,\bullet)$ el espacio vectorial euclídeo y $B=\{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\}$ una base de $E$, llamamos matriz de Gram, respecto de la base $B$, a la matriz $G=[g_{ij}=\vec{u}_i\bullet \vec{u}_j]$. Notar que la matriz $G$ siempre es simétrica.

De este modo, dados $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in E$, será $$\vec{x}\bullet \vec{y}=\textbf{x}^t\, G\, \textbf{y}=[x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]G\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$$

El pasado día vimos que
$$cos(\vec{x},\vec{y})=\frac{\vec{x}\bullet \vec{y}}{||\vec{x}||\, ||\vec{y}||}$$

Esto nos da pie a definir cuándo dos vectores son ortogonales: cuando se de que $\vec{x}\bullet \vec{y}=0$

Así pondremos que

$$\vec{x}\perp \vec{y} \Leftrightarrow \vec{x}\bullet \vec{y}=0$$
Con esta definición, decimos que $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$ es un conjunto ortogonal si dos a dos sus vectores son ortogonales; es decir, $\vec{v}_i\bullet\vec{v}_j=0\forall i\neq j$

Todo esto nos llevará al proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt: un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Ejercicio: Sea $\mathbb{R}_2[X]$, el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1], en la que definimos un producto escalar, $p\bullet q$, mediante:

$p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx$

¿Cuál es el coseno entre los vectores $x-x^2$ y $1+x+x^2$?
a) -0.25
b) 0.85
c) 1.25
d) ninguno de los anteriores

This entry was written by admin , posted on miércoles noviembre 27 2019at 01:11 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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