ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso contrario se dice que se cruzan.

Si conocemos las ecuaciones implícitas de las dos variedades, el conjunto $L_1\cap L_2$ viene dado por los puntos cuyas coordenadas, respecto del sistema de referencia considerado, son las soluciones del sistema que resulta de reunir todas las ecuaciones implícitas. Si denotamos por $n=dim(E)$, siendo $E$ el espacio afín, $r=dim(L_1)$ y $s=dim(L_2)$, y suponiendo que $r\leq s$, el sistema formado por todas las ecuaciones es un sistema de $2n-r-s$ ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial: $AX=B$. Según que el rango de la matriz de coeficientes coincida con el rango de la ampliada obtenemos la diferencia entre variedades que se cortan o que no se cortan. Si $rg(A)$ es $n-r$, entonces la dimensión de $C_1\cap C_2$ será $r$ y por tanto $C_1\cap C_2=C_1$, con lo que $C_1\subseteq C_2$.

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

 

Ejercicio: Dado el sistema

en $\mathbb{Z}_7$, dependiente de los parámetros $\bar{a},\bar{b}\in\mathbb{Z}_7$, ¿cuándo el sistema será compatible indeterminado?
a) Si $\bar{a}=\bar{1}$
b) Si $\bar{a}=*$ y $\bar{b}=\bar{1}$
c) Si $\bar{a}=*$ y $\bar{b}\neq\bar{1}$
d) Ninguna de los anteriores

This entry was written by admin , posted on miércoles noviembre 20 2019at 01:11 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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