ALG: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$

En este tema repasaremos nociones referentes al plano y al espacio como conjuntos de vectores. Esto nos conduce a la definición de las ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas y planos.

En $\mathbb{R}^2$ (el plano), un subespacio vectorial propio vendría dado por el sistema generador de un sólo vector. Así cualquier subespacio vectorial $S\subset \mathbb{R}^2$, será de la forma $S=<(a,b)>$ para ciertos $a,b\in\mathbb{R}$. Es decir, $(x,y)\in S$ sii existe $\lambda\in \mathbb{R}$ que cumple

$$
\begin{align*}
x&= \lambda a \\
y&= \lambda b
\end{align*}
$$
Estas ecuaciones definen la expresión del subespacio mediante sus ecuaciones paramétricas. Si despejamos $\lambda$, obtenemos la ecuación que debe verificar todo vector, $(x,y)\in S$, $$xb-ya=0,$$ que denominamos ecuación implícita del subespacio $S$.

A un subespacio vectorial de dimensión 1 le llamamos recta.

En $\mathbb{R}^3$ (el espacio), un subespacio vectorial propio, vendría dado por el sistema generador de un sólo vector o de dos vectores linealmente independientes(l.i.). Repitiendo el proceso de la recta en el plano, vemos que para una recta en $\mathbb{R}^3$, se cumple
$$
\begin{align*}
x&= \lambda a \\
y&= \lambda b \\
z&= \lambda c
\end{align*}
$$
como ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio. Despejando $\lambda$ obtendremos un posible sistema que debe verificar cualquier $(x,y,z)\in S\subset\mathbb{R}^3$
$$
\begin{align*}
bx-ay&=0 \\
cx-az&=0
\end{align*}
$$
Estas ecuaciones conforman el conjunto de ecuaciones implícitas que define una recta en el espacio.

Para el subespacio un sistema generador de dos vectores,l.i., $S=<(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)>\subset\mathbb{R}^3$. Las ecuaciones paramétricas nos las darán dos parámetros, $$(x,y,z)=\lambda(a_1,b_1,c_1)+\mu(a_2,b_2,c_2),$$ para ciertos $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$.
O lo que es lo mismo:
$$
\begin{align*}
x&=\lambda a_1+\mu a_2 \\
y&=\lambda b_1+\mu b_2 \\
z&=\lambda c_1+\mu c_2
\end{align*}
$$
Como que $(x,y,z)\in S$ implica que existen los $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$ que verifican lo anterior, nos dice que el sistema suponiendo $\lambda$ y $\mu$ variables, tiene solución y distinta de cero. Para ello el rango de la matriz ampliada del sistema no puede ser tres, y, por tanto,
$$\begin{vmatrix} x& a_1 & a_2 \\ y& b_1 & b_2 \\ z& c_1 & c_2 \end{vmatrix}=0.$$
A la ecuación resultante le llamamos ecuación implícita del plano en el espacio.

Para terminar definimos el concepto de variedad lineal. Dado un vector $\vec{v}$ de un $\mathbb{K}$-espacio vectorial finitamente generado, $V$, y un subespacio $S\subset V$, de definimos la variedad lineal $\vec{v}+S$ como

$$\vec{v}+S=\{\vec{v}+\vec{s}|\vec{s}\in S\}$$

Este tema lo podéis consultar en los libros

  • Geometría Plana de IngeBook Recopilación, Ingebook

  • Geometría en el Espacio. Definiciones, Teoremas y Resultados, de Juan de Burgos, Ingebook.

Ejercicio: Calcular la ecuación paramétrica de la recta del espacio definida por los planos $2x+y+z=0$ y $x-y-2z=0$.
This entry was written by admin , posted on viernes diciembre 01 2017at 09:12 am , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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