ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación

El pasado día vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces
$$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$

Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas.

Llamamos rango de una aplicación lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\to W$ es lineal

  1. $f$ es inyectiva si, y sólo si, $rang\, f=dim(V)$
  2. $f$ es sobreyectiva si, y sólo si, $rang\, f=dim(W)$
  3. $dim(Im\,f)=rang\, f$

Otra aplicación es en la composición:

Dadas dos aplicaciones lineales $f:V\to V’$ y $g:V’\to W$ se define la aplicación lineal $f$ compuesto con $g$, $(g\circ f):V\to W$, como $$(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v})),\quad \forall\vec{v}\in V.$$

De este modo la composición de aplicaciones se puede realizar mediante multiplicación de matrices

$$(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v}))\Leftrightarrow M_g(M_f\vec{v})\Leftrightarrow (M_g\cdot M_f)\vec{v}$$

Si consideremos lo que hemos visto, al hecho de que podemos establecer un isomorfismo entre un $\mathbb{R}$-espacios vectoriales $V$, de dimensión $n$, y $\mathbb{R}^n$, resultará que podremos tratar los elementos del $\mathbb{R}$-espacio vectorial como si fuesen vectores de $\mathbb{R}^n$. Esto nos ayudará a resolver problemas diversos; por ejemplo, determinar la independencia lineal de un conjunto de polinomios mediante su matriz como vectores en $\mathbb{R}^n$.

Para terminar tratamos la imagen recíproca de un vector.

Si tenemos una aplicación lineal $f:V\to W$, entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, y consideramos un vector fijo $\vec{w}\in W$, llamamos conjunto imagen recíproca al conjunto $$f^{-1}(\vec{w})=\{\vec{v}\in V;\,f(\vec{v})=\vec{w}\}\subset V.$$
Para este conjunto puede ocurrirle dos propiedades interesante

  1. Si $\vec{w}\notin \operatorname{Im}(f)$, entonces $f^{-1}(\vec{w})=\varnothing$
  2. Si $\vec{w}\in \operatorname{Im}(f)$; es decir, existe algún $\vec{v}_0\in V$ tal que $f(\vec{v}_0)=\vec{w}$, entonces $f^{-1}(\vec{w})$ es la variedad afín dada por $$f^{-1}(\vec{w})=\vec{v}_0+\operatorname{ker}(f)$$

Veamos cómo aplicamos esto. Consideremos la aplicación $f(x,y,z)=(2x-y,-x+z)$. La imagen recíproca del vector $(1,3)\in\mathbb{R}^2$ está formada por los vectores de $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ tales que
$$\left.\begin{array}{r}
2x-y=1 \\ -x+z=3
\end{array}\right\}
$$
Si resolvemos el sistema tendremos
$$\left\{\begin{array}{l}
x=k \\ y=-1+2k \\z=3+k
\end{array}\right.
$$
Por tanto, la imagen recíproca la podremos poner como

$$f^{-1}(1,3)=\{(k,-1+2k,3+k);k\in\mathbb{R}\}=(0,1,3)+\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\},$$
donde $$\operatorname{ker}(f)=\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\}.$$

Ejercicio: Dada la aplicación lineal $f(x,y,z)=(x-2y,y+z)$, calcular la imagen recíproca del vector (-4,7)
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