ALG: Matrices

Comenzamos con el tema de Matrices, donde hoy veremos:

  • Definición

    • Matriz columna, matriz fila
    • Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular…
  • Operaciones con matrices

    • Suma de matrices
    • Multiplicación de escalar por matriz.

Lo primero será definir las matrices. Llamamos matriz fila a una disposición de $p$ escalares de un cuerpo colocado en una fila por $p$ columnas, $A_f=[a_1\,a_2\,\ldots\,a_p]$, y del mismo modo definimos matriz columna disponiendo los $p$ escalares sobre un columna: $B_c=\begin{bmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}$.

De esta forma una matriz de $n\times m$ a una disposición de $n$ matrices fila o $m$ matrices columna;
$$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &\ldots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \vdots &\ldots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\ldots & a_{nm}
\end{bmatrix}.$$

Notar que los elementos $a_{ij}\in\mathbb{K}$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo, que habitualmente será los reales o los complejos.

Ahora podemos definir la suma de matrices,$A=[a_{ij}]_{nxm}$ y $B=[b_{ij}]_{n\times m}$, como otra matriz de la siguiente forma:
$$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{n\times m}.$$
Y el producto por escalar, $\lambda\in \mathbb{K}$, de la forma:
$$\lambda A=[\lambda a_{ij}]_{n\times m}.$$

Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{n\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos,

  • $(A+B)+C=A+(B+C)$
  • $A+B=B+A$
  • $A+0=0+A$, siendo 0 la matriz de $m\times n$ elementos todos 0.
  • Existe $B\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+B=B+A=0$, a esta matriz la llamamos opuesta de $A$ y la designamos por $-A$.
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
  • $(\lambda + \mu)A=\lambda A+\mu A$
  • $(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)$

Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicación de matrices:

Definimos el producto de una matriz fila $A_f$ por una matriz columna $B_c$, siempre que el número de columnas de la matriz fila coincida con el número de filas de la matriz columna, como el producto escalar considerándolos vectores la matriz fila $A_f$ y la traspuesta de $B_c$:
$$A_f\cdot B_c=[a_1\,a_2\,\ldots\,a_p]\bullet \begin{bmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{bmatrix}=(a_1\,a_2\,\ldots\,a_p)\cdot \begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{pmatrix}^t=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_pb_p.$$

De este modo el producto de dos matrices $A=[a_{ij}]_{n\times p}$ y $B=[b_{ij}]_{p\times m}$ es la matriz $$C=[A_i\bullet B_j]_{n\times m},$$
donde $A_i$ es la fila $i$ de la matriz $A$ y $B_j$ la columna $j$ de la matriz $B$. Esta forma de definir el producto es equivalente a la denotada por $A\cdot B,\;A\times B,\;A\circ B$ o simplemente $AB$, la matriz $C$:
$$C=AB=[c_{ij}]_{n\times m}=\left[\sum _{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}\right]$$

Propiedades que cumple la multiplicación de matrices:

  • $(AB)C = A(BC)$
  • $(A + B)C = AC + BC$
  • $C(A + B) = CA + CB$
  • Si A es una matriz cuadrada de tamaño $m$, entonces la matriz identidad $I_{m\times m}$ (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicación) de manera que: $I·A = A·I = A$
  • El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, $AB \neq BA$.
Ejercicio: Probar que si $A$ y $B$ son dos matrices que se pueden multiplicar, entonces $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$.
This entry was written by admin , posted on miércoles octubre 02 2019at 01:10 pm , filed under Álgebra Lineal . Bookmark the permalink . Post a comment below or leave a trackback: Trackback URL.

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