ALG: Subespacios vectoriales

La definición de base del pasado día nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si $\vec{v}\in V$, donde $V$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial f.g., y $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, decimos que $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ son las coordenadas del $\vec{v}$ respecto de la base $B$, si $$\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n$$ Un resultado muy interesante: Un […]

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ALG: Espacios vectoriales

El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo. Un espacio vectorial, $V$, sobre un cuerpo,$\mathbb{K}$, será una terna, $(V,+,\cdot)$, que verifica: $(V,+)$ es un grupo conmutativo Existe una aplicación, […]

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ALG: Homomorfismo, Anillos y cuerpos

Definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicación que conserva la operación interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicación $f:G_1\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\circ f(w).$$ Establecer un homomorfimos entre dos grupos no permite utilizar ciertas propiedades muy útiles: Dados los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, $f:G_1\to […]

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ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia: Relaciones de equivalencia Por ejemplo “Tener el […]

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ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. Se demuestra que […]

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ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, Partes de un conjunto, Cardinalidad Unión e Intersección de conjuntos Aplicaciones: Relación. Dominio, rango e imagen. Aplicación inyectiva. Aplicación suprayectivas. Aplicación biyectivas. Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […] […]

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ALG: Criptografía basada en matrices

El propósito de hoy es ver cómo utilizamos las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultáneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un […]

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ALG: Factorización LU

La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}$$ de manera $\textbf{L}$ sea triangular inferior y $\textbf{L}$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede […]

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ALG: Menor y matriz adjunta

El pasado día vimos la definición de manera recursiva de un determinante. En ella definimos los menores de un elemento de una matriz, como los determinantes resultantes de la matriz que queda tras eliminar una fila y una columna. Si consideramos $m_{ij}$ el menor del elemento $a_{ij}$ en la matriz $A$, decimos adjunto del elemento […]

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ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse […]

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