ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$ Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican. Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de […]

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EFM: Principio de superposición

Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. Este caso cumple el Teorema de superposición: Teorema. Sean $y_1$, $y_2$, …, $y_k$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$, $F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0$, en un intervalo $I$, entonces la combinación lineal $$y=c_1y_1+c_2 y_2+\ldots+c_k […]

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ALG: Producto escalar, norma, producto vectorial y mixto

Hoy hemos trabajado con la definición del producto escalar y norma en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, aunque por extensión se puede hacer para $\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad. Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que […]

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EFM: No homogénea con exponencial y funciones trigonométricas

Hoy hemos comenzado abordando la ecuación $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P(x)\, e^{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)\, e^{rx}$$ El siguiente caso trata cuando afrontamos con funciones trigonométricas $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P_1(x)\, \cos{rx}+P_2(x)\, \sin{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{rx}+Q_2(x)\, \sin{rx})$$ Quedaría ver si ocurre $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=(P_1(x)\, \cos{bx}+P_2(x)\, \sin{bx})e^{ax},$$ que en tal […]

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ALG: el plano afín $\mathbb{R}^2$ y el espacio afín $\mathbb{R}^3$

Hoy comenzamos intentando definir un espacio donde podamos fijar los vectores de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín. Podemos definir el plano afín $\mathbb{R}^2$ como el conjunto $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto $\mathbb{R}^2$, como […]

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ALG: Propiedades de la matriz asociada a una aplicación

El pasado día vimos si $M_f$ es la matriz asociada a la aplicación lineal $f:V\to W$, entonces $$f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.$$ Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas. Llamamos rango de una aplicación lineal $f$ al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si $f:V\to W$ […]

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EFM: No homogenea con solución particular polinómica

En esta sesión de hoy hemos abordado el problema de una ED no homogénea donde la componente no homogénea es polinómica. En tal caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)$$ donde Q(x) es un polinomio del mismo grado que la componente no homogénea, y xs es el factor que dependerá de la raíz […]

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ALG: Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Recordemos es dada una aplicación lineal, $T$, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de $T:V\to W$ como: $\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}$ $\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}$ Es decir que el núcleo de una aplicación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del […]

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EFM: ED lineal homogénea

Definimos una ecuación diferencia lineal homogénea de grado $n$, como una ecuación de la forma $$a_{n}(x)\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\ldots +a_1(x)y’+a_0(x)y=0.$$ En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes. Para resolverlas necesitamos la ecuación característica de la ED, que se construye de la forma: $$a_{n} \lambda^n+a_{n}\lambda^{n-1}+\ldots +a_1\lambda+a_0=0.$$ Esta es una ecuacion de coeficientes reales […]

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ALG: Aplicaciones lineales

Al hablar de grupos se introdujo la definición de homomorfismo y con ella la de núcleo. Ahora extendemos esta definición a espacios vectoriales para definir la aplicación lineal: un homomorfismo entre espacios vectoriales. Así diremos que una aplicación (en algunos libros le dicen Transformación) entre dos espacios vectoriales, $f:V\to W$, sobre el mismo cuerpo$\mathbb{K}$, es […]

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