ALG: Factorización LU

La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}$$ de manera $\textbf{L}$ sea triangular inferior y $\textbf{L}$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede […]

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EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, […]

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ALG: Menor y matriz adjunta

El pasado día vimos la definición de manera recursiva de un determinante. En ella definimos los menores de un elemento de una matriz, como los determinantes resultantes de la matriz que queda tras eliminar una fila y una columna. Si consideramos $m_{ij}$ el menor del elemento $a_{ij}$ en la matriz $A$, decimos adjunto del elemento $a_{ij}$ […]

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EFM: ED homogéneas

Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas. Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$. Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es […]

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ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse […]

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EFM: Formas diferenciales exactas

Trabajaremos con una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$d(F(x,y))=0.$$ Lo que nos lleva a considerar que una expresión como $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ pueda ser el resultado de la diferencia de una función $F(x,y)$, y en consecuencia $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)$, y, $\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)$. Ejemplos tenemos en: $d(xy)=ydx+xdy$ $d(x^2+y^2)=2(xdx+ydy)$ $d\left(\tfrac{y}{x}\right)=\tfrac{xdy-ydx}{x^2}$ $d\left(\tan^{-1}\tfrac{x}{y}\right)=\tfrac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$ En estos casos la […]

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ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$ El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o […]

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EFM: ED de variables separadas

Afrontamos en este tercer tema cómo resolver ecuaciones diferenciales (ED) de primer orden. Recordad que nosotros trataremos algunos casos. El primero, las ED de variables separadas; es decir, aquellas que se pueden expresar mediante f(y)dy=g(x)dx.   Ejercicio: Resolver la ED, $$\frac{dy}{dx}=\frac{xy+3x-y-3}{xy-2x+4y-8}$$

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ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales: Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ (respectivamente $A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ […]

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ALG: Producto de matrices por bloques

El pasado día ofrecimos una forma de definir el producto de matrices de manera original, definiendo primero el producto de una matriz fila por una matriz columna, que es equivalente a la denotada por $$AB=\left[\sum _{p=1}a_{ip}b_{pj}\right]_{n\times m}.$$ Como vimos esta operación no es conmutativa, aunque pueda realizarse la multiplicación, por ejemplo si ambas matrices son […]

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