ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. Se demuestra que […]

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EFM: ED de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$ donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo. Para resolverlas es suficiente con plantear el cambio de variable $u=y^{1-\alpha}$, transformando la ecuación diferencial […]

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ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, Partes de un conjunto, Cardinalidad Unión e Intersección de conjuntos Aplicaciones: Relación. Dominio, rango e imagen. Aplicación inyectiva. Aplicación suprayectivas. Aplicación biyectivas. Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […]

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ALG: Criptografía basada en matrices

Hoy hemos visto cómo podemos utilizar las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultaneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un mismo caracter […]

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EFM: ED lineales de primer orden

El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial […]

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EFM: Factores integrantes

El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $$P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0\quad\quad\quad(1)$$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial […]

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ALG: Factorización PA=LU

El pasado día vimos la factorización LU de una matriz cuadrada; es decir, conseguir descomponer $A$ en un producto $$A=L\,U,$$ de manera que $U$ triangular superior y $L$ sea triangular inferior con su diagonal principal todo unos. Para hacerlo seguíamos el proceso de trasformaciones elementales $$[I|A]~[L^*|U],$$ donde $U$ es la matriz triangular superior que perseguimos […]

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ALG: Factorización LU

La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}$$ de manera $\textbf{L}$ sea triangular inferior y $\textbf{L}$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede […]

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EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, […]

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ALG: Menor y matriz adjunta

El pasado día vimos la definición de manera recursiva de un determinante. En ella definimos los menores de un elemento de una matriz, como los determinantes resultantes de la matriz que queda tras eliminar una fila y una columna. Si consideramos $m_{ij}$ el menor del elemento $a_{ij}$ en la matriz $A$, decimos adjunto del elemento $a_{ij}$ […]

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