MAD: Desarreglos y particiones

Hoy hemos recordado la definición del conjunto de las permutaciones $S_n$, donde un elemento será de la forma: $$\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \cdots & n\\ \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 & \sigma_5 \cdots & \sigma_n \end{array}\right) .$$ Siendo $\sigma_i\in I=\{1,2,3,4,…,n\}$ y de modo que $\sigma_i\neq \sigma_j\forall i\neq […]

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MAD: Principio de inclusión-exclusión

El principio de inclusión-exclusión permite calcular el cardinal de la unión de varios conjuntos, mediante los cardinales de cada uno de ellos y todas sus posibles intersecciones. Si consideramos que tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$, resultará: $$|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|.$$ Imaginemos que tenemos tres conjuntos finitos: […]

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MAD: La fórmula de Leibniz

Hoy terminamos la parte de los número binomiales extendiendo el teorema del binomio al conocido resultado de la fórmula de Leibniz: Dados $m$ enteros y un natural $n$, se tiene $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} \prod_{1\le t\le m}x_{t}^{k_{t}}$$ Aquí definimos los coeficientes multinomiales como $$ […]

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MAD: Teorema del binomio

El pasado día vimos el número binomial y dejamos las bases puestas para enunciar el Teorema del Binomio: $$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k$$ Con este teorema podemos hacer fáciles ejercicios que resultan difíciles en su planteamiento. Un resultado interesante es el siguiente. Utilizando el teorema del binomio podemos ver que $$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}$$ Ejercicio:Calcular […]

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MAD: Número binomial

Comenzamos definiendo el número binomial ${n\choose k}$, como el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n. Esta definición coincide con la combinaciones, por ese motivo la fórmula de calcularlo debe ser la misma $$ {n\choose k} = \frac{ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdots (k-1)\cdot k} $$ Los coeficientes binomiales cumple […]

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MAD: Combinaciones

Las combinaciones las introducimos para determinar en número de subconjuntos que podemos hacer con los elementos de un conjunto. Sabemos que el total serían el cardinal de las partes de un conjunto, pero en este caso queremos conocer los subconjuntos con un determinado cardinal. Así definimos las combinaciones de n elementos tomados de $m$ en […]

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MAD: Variaciones y Permutaciones

Introducimos las primeras de las técnicas básicas de conteo: la variaciones. Llamaremos variaciones de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$, al número de aplicaciones inyectivas que podemos hacer del conjunto $A$, de cardinal $m$, en el conjunto $B$, de cardinal $n$, $m\leq n$. Para calcular las variaciones utilizaremos: $$V_{n,m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}.$$ Imaginemos que deseamos contar el […]

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MAD: Teoría combinatoria

Comenzamos la parte de Teoría combinatoria, recordando las definiciones de Conjuntos, cardinalidad, partes de un conjunto. Unión e intersección de conjuntos. Aplicaciones entre conjuntos finitos Dominio, rango e imagen. Inyectivas, sobreyectivas biyectivas Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, Juan De Burgos Román, Ingebook. Además hemos tratado los principios básicos de conteo: Principio de […]

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