El pasado día introducimos las ecuaciones lineales diofánticas. En particular, abordamos la solución de la ecuación $$ax+by=c.$$ Hoy nos centramos en la ecuación $$ax+by+cz=n.$$ Como comentamos el día anterior, esta ecuación tiene solución si $m.c.d(a,b,c)|n$. En caso de tener solución podemos calcularla dependiendo de dos casos. El más sencillo es el que plantea cuando dos […]
Consideremos que tenemos un sistema de dos ecuaciones diofánticas de tres variables Con lo que hemos visto cada ecuación define una plano, que puede o no tener soluciones enteras, así el sistema dado por dos planos es una recta. Resolverlo es afrontar la ecuación diofántica de dos variables resultado de simplificar el sistema. Por ejemplo: […]
Comenzamos con el tema de ecuaciones diofánticas. Recordad que llamamos ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Nosotros solo trataremos las ecuaciones diofántica lineal; es decir, la ecuación $$a_1x_1 + a_2x_2 + […]
El pasado día terminamos con el Teorema fundamental de la aritmética: Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma única, salvo el orden, como producto de factores primos. Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy prácticas: Teorema: Sean $n,m\in \mathbb{Z}-\{-1,0,1\}$, con $n=p_1p_2\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos, […]
En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$, que no tiene divisores más que el 1 y el mismo. El siguiente resultado es muy importante: Teorema: Si $p\in\mathbb{Z}$ es primo y $p|(a\,b)$, entonces, ó $p|a$ ó $p|b$ Para determinar los primos podemos utilizar la criba […]