ALG: Autovectores y autovalores

Comenzamos explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz y. Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz […]

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ALG: Matrices ortogonales

Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicación ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$ Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus imágenes […]

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ALG: Proyección ortogonal

El pasado día veíamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$E=S\oplus S^{\bot}$$ Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in E$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$ Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente. La definición clásica […]

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EFM: Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad :$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$ Derivación: $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} – f(0)$ $\mathcal{L}\{f”(t)\}= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} – s f(0) – f'(0)$ $\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – s^{n – 1} f(0) – \dots – f^{(n – 1)}(0) = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – \sum_{i=1}^{n} s^{n – […]

EFM: Transformada de Laplace

Hoy nos hemos tratado la Transformada de Laplace. La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por: La transformada de Laplace la utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales de forma más sencilla.

ALG: Complemento ortogonal

En el día de hoy hemos trabajado con el complemento ortogonal. Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $E$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $E$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in E|\;<\vec{v},\vec{u}>=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$ El ortogonal de un conjunto cumple propiedades muy interesantes, como que es un subespacio vectorial, […]

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ALG: Ortogonalidad

Comenzamos a tratar los vectores ortogonales y ortonormales, que nos llevarán a dar las definiciones de base ortogonal y sistema ortonormal. Todo esto nos llevará al proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt: un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que […]

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ALG: Espacio Euclídeo

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o […]

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EFM: Sistemas no homogéneos. Variación de parámetros

Recordemos que partimos de un sistema de ED en la forma matricial $$X’=A\,X+B(t),$$ donde consideraremos $A$ una matriz cuadrada de valores constantes, y $B(t)$ una matriz de valores constantes o funcionales, no siendo todos cero. Si resulta que la solución de la parte homogénea la podemos obtener como $$X_h=\Phi(t)\,C,$$ siendo $C$ la matriz de constantes, […]

EFM: Sistemas no homogéneos. Coeficientes indeterminados

Los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros que se utilizaron para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas pueden adaptarse a la resolución de sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos, la variación de parámetros es la técnica más eficaz. No obstante, hay casos donde el método de […]