ALG: Diagonalización ortogonal

En día de hoy consideramos un caso particular de endomorfismos y matrices que se consideran son simétricos. Para ello definimos un endomorfismo simétrico. Si consideramos un espacio eunclídeo $\mathcal{E}$, con el producto escalar $\bullet$, se dice que un endomorfismo $f:\mathcal{E}\to\mathcal{E}$ es simétrico si: $$\vec{u}\bullet f(\vec{v})=\vec{v}\bullet f(\vec{u}),\quad\forall \vec{u},\vec{v}\in\mathcal{E}.$$ La característica de un endomorfismo simétrico está asociada […]

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ALG: Diagonalización de una matriz

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovetores de la matriz. Sea, por tanto, $A$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces La matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica […]

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ALG: Autovectores y subespacios propios

El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$ El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$. Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de […]

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EFM: Repaso

Último día de clase y lo dejamos para repasar.

EFM: Aplicación de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el para resolver ecuaciones diferenciales y de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles […]

ALG: Autovectores y autovalores

Comenzamos explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz y. Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz […]

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ALG: Matrices ortogonales

Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicación ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$ Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus imágenes […]

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ALG: Proyección ortogonal

El pasado día veíamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$E=S\oplus S^{\bot}$$ Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in E$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$ Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente. La definición clásica […]

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EFM: Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad :$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$ Derivación: $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} – f(0)$ $\mathcal{L}\{f”(t)\}= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} – s f(0) – f'(0)$ $\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – s^{n – 1} f(0) – \dots – f^{(n – 1)}(0) = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – \sum_{i=1}^{n} s^{n – […]

EFM: Transformada de Laplace

Hoy nos hemos tratado la Transformada de Laplace. La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por: La transformada de Laplace la utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales de forma más sencilla.