EFM: ED lineal homogénea de orden 2

Con la idea de analizar la solución de una ED Homogénea de cualquier orden, veamos como lo hacemos con una de orden dos. Para resolver este problema necesitamos las soluciones de la ecuación característica de la ED. Si lo vemos para $$a_2y”+a_1y’+a_0y=0,$$ resultará: $$a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$ Las soluciones de esta ecuación dan la solución general. Para ello […]

EFM: ED lineal homogénea

Definimos una ecuación diferencia lineal homogénea de grado $n$, como una ecuación de la forma $$a_{n}(x)\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\ldots +a_1(x)y’+a_0(x)y=0.$$ En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes. Para resolverlas necesitamos la ecuación característica de la ED, que se construye de la forma: $$a_{n} \lambda^n+a_{n}\lambda^{n-1}+\ldots +a_1\lambda+a_0=0.$$ Esta es una ecuacion de coeficientes reales […]

ALG: Espacios vectoriales

El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo. Así definimos el espacio vectorial y el subesapcio vectorial, y uno en particular, $\mathbb{R}^n$. Haremos hincapié en: Sistema generador Combinación lineal […]

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ALG: Anillos y cuerpos

El pasado día se introdujo los grupos, hoy hablaremos de Anillos y Cuerpos. Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto […]

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ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia: Relaciones de equivalencia Por ejemplo “Tener el […]

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EFM: ED de segundo orden

Analizamos las ecuaciones diferenciales de segundo orden y, para estudiar unos casos sencillos, empezaremos con la resolución de dos tipos de ellas: ecuaciones sin variable dependiente ecuaciones sin variable independiente Para el primer tipo, ecuaciones de la forma $F(x,y’,y”)=0$, hacemos el cambio $y’=p$, y, $y”=\frac{dp}{dx}$, obteniendo una función de primer orden $f(x,p,p’)=0$. Ejercicio: Resolver la […]

EFM: ED de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$ donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo. Para resolverlas es suficiente con plantear el cambio de variable $u=y^{1-\alpha}$, transformando la ecuación diferencial […]

ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. Se demuestra que […]

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ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, partes de un conjunto, cardinalidad Unión e Intersección de conjuntos propiedades Aplicaciones: Relación. Dominio, rango e imagen. Aplicación inyectiva. Aplicación suprayectivas. Aplicación biyectivas. Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […]

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ALG: Criptografía basada en matrices

Hoy hemos visto cómo podemos utilizar las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultaneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un mismo caracter […]

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