EFM: Factores integrantes

El pasado día decíamos que la ecuación diferencial $P( x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0$ era exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Aprendimos a resolver este tipo de ecuaciones. Sin embargo podemos toparnos con ecuaciones que no lo cumplan, pero que al multiplicarles determinada función, $\mu$, verifique $$\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial […]

EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, […]

ALG: Menor y matriz adjunta

Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz, y terminamos definiendo el rango de una matriz en función del orden del mayor menor no nulo. La existencia del determinante no nulo nos permite dar la inversa de una matriz en función de él: $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)^{t}$$ siendo $adj(A)$ la matriz ajunta […]

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ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse […]

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ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$ El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o […]

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EFM: ED homogéneas

Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas. Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$. Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es […]

EFM: Formas diferenciales exactas

En este curso trataremos una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.$$ En determinados casos esta ecuación se puede tratar como una ecuación diferencia de variables separadas. Si la forma es: $$F_1(x)G_2(y)dx+F_2(x)G_1(y)dy=0,$$ resulta que $$\frac{G_1(y)}{G_2(y)}dy=-\frac{F_1(x)}{F_2(x)}dx,$$ que se puede tratar como la ecuaciones que ya hemos visto Ejercicio: Resolver la ED, $(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx=0, \; y(1)=0$.

ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales: Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R} o \mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ ($A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ ($B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’$) […]

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ALG: Matrices

Comenzamos con el tema de Matrices. Lo primero será definir las matrices: Definición Matriz columna, matriz fila Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular… Operaciones con matrices Suma de matrices Multiplicación de escalar por matriz. Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos, […]

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ALG: Presentación

En la presentación del día de hoy hemos visto Presentación Objetivos de la asignatura Metodología y Evaluación Bibliografía Objetivos, Metodología y Evaluación Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado .   Bibliográfica Básica Grossman, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 2008 www.ingebook.com Aconsejable Jorge Arvesu y otros, Problemas resueltos de Álgebra lineal. Thomson, […]

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