MAD: Restos potenciales

Uno de nuestros cometido será resolver la ecuación de congruencias $$aX\equiv b (m)$$ Para comenzar trataremos los restos potenciales; es decir, $$a^i\equiv r_i(n).$$ Estos restos cumplen las siguientes propiedades: $$\begin{align*} a^0 &\equiv 1(n) \\ a &\equiv a(n) \\ a^k&\equiv r_k(n)\Rightarrow a^{k+1}\equiv a\cdot r_k(n) \end{align*}$$ Además a partir de un resto que se repiten, se repiten […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Restos potenciales

MAD: Congruencias

Utilicemos wiki para definir que entendemos por congruencia: un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\neq 0$, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación $$a \equiv b (m).$$ Esta definición nos permitía construir […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Congruencias

MAD: Sistema de ecuaciones diofánticas

Consideremos que tenemos un sistema de dos ecuaciones diofánticas de tres variables Con lo que hemos visto cada ecuación define una plano, que puede o no tener soluciones enteras, así el sistema dado por dos planos es una recta. Resolverlo es afrontar la ecuación diofántica de dos variables resultado de simplificar el sistema. Por ejemplo: […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Sistema de ecuaciones diofánticas

MAD: Ecuaciones diofáticas de tres variables

El pasado día introducimos las ecuaciones lineales diofánticas. En particular, abordamos la solución de la ecuación $$ax+by=c.$$ Hoy nos centramos en la ecuación $$ax+by+cz=n.$$ Como comentamos el día anterior, esta ecuación tiene solución si $m.c.d(a,b,c)|n$. En caso de tener solución podemos calcularla dependiendo de dos casos. El más sencillo es el que plantea cuando dos […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Ecuaciones diofáticas de tres variables

MAD: Ecuaciones diofánticas

Comenzamos con el tema de ecuaciones diofánticas. Recordad que llamamos ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$; es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Nosotros solo trataremos las ecuaciones diofántica lineal; es decir, la ecuación $$a_1x_1 + a_2x_2 + […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Ecuaciones diofánticas

MAD: Teorema fundamental de la aritmética

El pasado día terminamos con el Teorema fundamental de la aritmética: Teorema: Todo entero positivo se puede representar de forma única, salvo el orden, como producto de factores primos. Este resultado es muy importante y nos ofrece consecuencias muy prácticas: Teorema: Sean $n,m\in \mathbb{Z}-\{-1,0,1\}$, con $n=p_1p_2\cdots p_r$ y $m=q_1q_2\cdots q_s$, sus descomposiciones en factores primos, […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Teorema fundamental de la aritmética

MAD: Números primos

En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero $p\in\mathbb{Z}$, $p>1$, que no tiene divisores más que el 1 y el mismo. El siguiente resultado es muy importante: Teorema: Si $p\in\mathbb{Z}$ es primo y $p|(a\,b)$, entonces, ó $p|a$ ó $p|b$ Para determinar los primos podemos utilizar la criba […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Números primos

MAD: Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficiente para calcular el máximo común divisor (mcd). Se basa en el siguiente resultado: Teorema: Si $a$ y $b$ son números enteros, $$mcd(a,b)=mcd(b,r),$$ donde $r$ es el resto del algoritmo de la división para $a$ y $b$ ($a=qb+r$). Utilizando este resultado calculamos el mcd(a,b) de dos […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Algoritmo de Euclides

MAD: Máximo común divisor

Comenzamos explicando El algoritmo de la división, que intenta dar consistencia al procedimiento habitual de división entre números enteros, recordando que esta no existe como tal, ya que la división no siempre existe. Sin embargo podemos dar un resultado que nos ayuda a comprender que entendemos por división en los números enteros. Teorema: Dados dos […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Máximo común divisor

MAD: Divisibilidad

El concepto de divisibilidad es uno de los más importantes que veremos en Teoría de números. Con él pretendemos dar una sustitución de la división que no siempre es posible en el conjunto de los números enteros. Decimos que un número entero $b$ es divisible entre un entero $a$ (distinto de cero) si existe un […]

Posted in: Matemática Discreta by admin Comentarios desactivados en MAD: Divisibilidad