EFM: Ecuación diferencial exacta

Decimos que la ecuación diferencial $P( x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$ es exacta si $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Este tipo de ED, bajo determinadas condiciones, tendrá como solución $u(x,y)=c$. Para encontrar la solución podemos ver que se cumplirá$$\frac{\partial u}{\partial x}=P,$$ y, por tanto,$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+g(y).$$ Ahora necesitamos conocer quién será $g(y)$, […]

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EFM: ED homogéneas

Siguiendo con los métodos de resolver ED, definimos las funciones homogéneas. Una función $f: D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, se se dice homogénea de grado $n$ si $$f(tx,ty) = t^n f(x,y)$$ para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$. Utilizando las funciones homogéneas podemos ver que si en $$y’=f(x,y),$$ la función $f(x,y)$ es […]

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EFM: Formas diferenciales exactas

Trabajaremos con una forma diferencia exacta como una expresión del tipo $$d(F(x,y))=0.$$ Lo que nos lleva a considerar que una expresión como $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,$$ pueda ser el resultado de la diferencia de una función $F(x,y)$, y en consecuencia $\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)$, y, $\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)$. Ejemplos tenemos en: $d(xy)=ydx+xdy$ $d(x^2+y^2)=2(xdx+ydy)$ $d\left(\tfrac{y}{x}\right)=\tfrac{xdy-ydx}{x^2}$ $d\left(\tan^{-1}\tfrac{x}{y}\right)=\tfrac{ydx-xdy}{x^2+y^2}$ En estos casos la […]

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EFM: ED de variables separadas

Afrontamos en este tercer tema cómo resolver ecuaciones diferenciales (ED) de primer orden. Recordad que nosotros trataremos algunos casos. El primero, las ED de variables separadas; es decir, aquellas que se pueden expresar mediante f(y)dy=g(x)dx.   Ejercicio: Resolver la ED, $$\frac{dy}{dx}=\frac{xy+3x-y-3}{xy-2x+4y-8}$$

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EFM: Concepto de ED. Soluciones.

Hoy hemos visto la definición y tipos de ecuaciones diferenciales, donde trabajamos la definición formal de una ED y clasificando las mismas de acuerdo con su tipo, orden y linealidad; cómo realizar las gráficas de las soluciones de ED; sus tipos de soluciones: trivial, explicitas e implícitas. Trataremos con más frecuencia las soluciones generales paramétricas […]

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EFM: Ecuaciones Diferenciales (ED)

Hasta ahora hemos visto ejemplo donde aparecen ecuaciones diferenciales, hoy damos su definición. Para nosotros, llamaremos ecuación diferencia a una ecuación del tipo $$F(t,y,y’,y”,\ldots,y^{(n)})=0,$$ que relaciona una variable independiente $t$ y una función $y=y(t)$ junto con una o más de sus derivadas. En base a esta definición hemos establecido ciertas diferencias entre las ED. Como […]

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EFM: Ejemplos

Terminamos exponiendo unos ejemplos más, como las ecuaciones diferenciales que encontramos al buscar la corriente en circuitos RL, LC o RCL.

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EFM: La clepsidra

Hoy hemos visto otro ejemplo de un problema físico que se resuelve mediante una ecuación diferencia, en este caso el problema de la clepsidra.

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EFM: El problema de De Beaune

Las ecuaciones diferenciales surgieron con la aparición del Cálculo diferencial. Uno de los primeros problemas que se abordó fue el problema de De Beaune: hallar una curva cuya subtangente sea constante. Otro ejemplo que hemos tratado es el problema de la trayectoria de un proyectil según Galileo.

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EFM: Presentación

En el día de hoy hemos visto Presentación Objetivos de la asignatura Metodología y Evaluación Bibliografía Objetivos, Metodología y Evaluación Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado, que encontraréis en Recursos del Campus Virtual. Bibliográfica Marta Cordero Gracia, Ecuaciones diferenciales ordinarias, ingebook Dennis Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, […]

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