ALG: Autovectores y autovalores

Comenzamos explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz y. Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz […]

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ALG: Matrices ortogonales

Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicación ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$ Dos vectores son ortogonales si, y solo si, sus imágenes […]

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ALG: Proyección ortogonal

El pasado día veíamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$E=S\oplus S^{\bot}$$ Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in E$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$ Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente. La definición clásica […]

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ALG: Complemento ortogonal

En el día de hoy hemos trabajado con el complemento ortogonal. Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $E$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $E$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in E|\;<\vec{v},\vec{u}>=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$ El ortogonal de un conjunto cumple propiedades muy interesantes, como que es un subespacio vectorial, […]

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ALG: Ortogonalidad

Comenzamos a tratar los vectores ortogonales y ortonormales, que nos llevarán a dar las definiciones de base ortogonal y sistema ortonormal. Todo esto nos llevará al proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt: un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que […]

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ALG: Espacio Euclídeo

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o […]

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ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso […]

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ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) . El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema […]

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ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$ Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican. Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de […]

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ALG: Producto escalar, norma, producto vectorial y mixto

Hoy hemos trabajado con la definición del producto escalar y norma en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, aunque por extensión se puede hacer para $\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad. Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que […]

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