ALG: Espacios vectoriales

El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo. Así definimos el espacio vectorial y el subesapcio vectorial, y uno en particular, $\mathbb{R}^n$. Haremos hincapié en: Sistema generador Combinación lineal […]

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ALG: Anillos y cuerpos

El pasado día se introdujo los grupos, hoy hablaremos de Anillos y Cuerpos. Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto […]

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ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia: Relaciones de equivalencia Por ejemplo “Tener el […]

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ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. Se demuestra que […]

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ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, partes de un conjunto, cardinalidad Unión e Intersección de conjuntos propiedades Aplicaciones: Relación. Dominio, rango e imagen. Aplicación inyectiva. Aplicación suprayectivas. Aplicación biyectivas. Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […]

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ALG: Criptografía basada en matrices

Hoy hemos visto cómo podemos utilizar las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultaneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un mismo caracter […]

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ALG: Factorización PA=LU

El pasado día vimos la factorización LU de una matriz cuadrada; es decir, conseguir descomponer $A$ en un producto $$A=L\,U,$$ de manera que $U$ triangular superior y $L$ sea triangular inferior con su diagonal principal todo unos. Para hacerlo seguíamos el proceso de trasformaciones elementales $$[I|A]~[L^*|U],$$ donde $U$ es la matriz triangular superior que perseguimos […]

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ALG: Factorización LU

p>La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$A=L\,U,$$ de manera $L$ sea triangular inferior y $U$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede […]

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ALG: Menor y matriz adjunta

Hemos dado las definición de menor y adjunto de un elemento de una matriz, y terminamos definiendo el rango de una matriz en función del orden del mayor menor no nulo. La existencia del determinante no nulo nos permite dar la inversa de una matriz en función de él: $$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)^{t}$$ siendo $adj(A)$ la matriz ajunta […]

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ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse […]

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