EFM: Repaso

Último día de clase y lo dejamos para repasar.

EFM: Aplicación de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el para resolver ecuaciones diferenciales y de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles […]

EFM: Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad :$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$ Derivación: $\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} – f(0)$ $\mathcal{L}\{f”(t)\}= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} – s f(0) – f'(0)$ $\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – s^{n – 1} f(0) – \dots – f^{(n – 1)}(0) = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} – \sum_{i=1}^{n} s^{n – […]

EFM: Transformada de Laplace

Hoy nos hemos tratado la Transformada de Laplace. La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por: La transformada de Laplace la utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales de forma más sencilla.

EFM: Sistemas no homogéneos. Variación de parámetros

Recordemos que partimos de un sistema de ED en la forma matricial $$X’=A\,X+B(t),$$ donde consideraremos $A$ una matriz cuadrada de valores constantes, y $B(t)$ una matriz de valores constantes o funcionales, no siendo todos cero. Si resulta que la solución de la parte homogénea la podemos obtener como $$X_h=\Phi(t)\,C,$$ siendo $C$ la matriz de constantes, […]

EFM: Sistemas no homogéneos. Coeficientes indeterminados

Los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros que se utilizaron para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas pueden adaptarse a la resolución de sistemas lineales no homogéneos. De estos dos métodos, la variación de parámetros es la técnica más eficaz. No obstante, hay casos donde el método de […]

EFM: Sistemas con autovalores complejos

Por último tenemos que la solución de $p_A(\lambda)=0$ sea compleja; es decir, $\lambda=\alpha\pm \beta i$, en ese caso la solución general será de la forma $$X=c_1\vec{v}e^{\lambda t}+c_2\bar{\vec{v}}e^{\bar{\lambda} t},$$ donde $\bar{\lambda}$ es el conjugado de $\lambda$ y $\bar{\vec{v}}$ es el vector conjugado del vector propio $\vec{v}$. Esta forma también se puede expresar utilizando los senos y […]

EFM: Sistemas con autovalores dobles

Recordad que llevamos visto cuando todos los autovalores son distintos. Para los demás casos, empezaremos con $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, de este modo el polinómio característico de esta matriz será $p_A(\lambda)\in\mathbb{R}_2[X]$. Las soluciones dependerán de los valores propios que nos de la ecuación característica $p_A(\lambda)=0$. Si los valores propios son distintos estamos en el caso general, visto anteriormente. […]

EFM: Sistema de ED

Hoy comenzamos el tema 6, dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales. En general un sistema como $$X’=AX+B,$$ escrito en forma matricial. A y B son una matrices de funciones, aunque nosotros nos centraremos cuando A sea una matriz de coeficientes constantes y reales. Para tratar los Sistemas de ED necesitamos repasar el cálculo de […]

EFM: Principio de superposición

Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. Este caso cumple el Teorema de superposición: Teorema. Sean $y_1$, $y_2$, …, $y_k$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$, $F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0$, en un intervalo $I$, entonces la combinación lineal $$y=c_1y_1, c_2 […]