EFM: Sistemas no homogéneos

Recordad que llevamos visto cuando todos los autovalores son distintos. Para los demás casos, empezaremos con $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, de este modo el polinómio característico de esta matriz será $p_A(\lambda)\in\mathbb{R}_2[X]$. Las soluciones dependerán de los valores propios que nos de la ecuación característica $p_A(\lambda)=0$. Si los valores propios son distintos estamos en el caso general, visto anteriormente. […]

EFM: Sistema de ED

Hoy comenzamos el tema 6, dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales. En general un sistema como $$X’=AX+B,$$ escrito en forma matricial. A y B son una matrices de funciones, aunque nosotros nos centraremos cuando A sea una matriz de coeficientes constantes y reales. Para tratar los Sistemas de ED necesitamos repasar el cálculo de […]

EFM: Principio de superposición

Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. Este caso cumple el Teorema de superposición: Teorema. Sean $y_1$, $y_2$, …, $y_k$ soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden $n$, $F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0$, en un intervalo $I$, entonces la combinación lineal $$y=c_1y_1, c_2 […]

EFM: No homogénea con funciones trigonométricas

El siguiente caso trata cuando afrontamos con funciones trigonométricas $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P_1(x)\, \cos{rx}+P_2(x)\, \sin{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{rx}+Q_2(x)\, \sin{rx})$$ Quedaría ver si ocurre $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=(P_1(x)\, \cos{bx}+P_2(x)\, \sin{bx})e^{ax},$$ que en tal caso la solución particular dependería de $a+bi$, y sería de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{bx}+Q_2(x)\, \sin{bx})e^{ax}$$ Ejercicio: Resolver $y”+y= \sin 2x$, […]

EFM: No homogénea con exponencial

Hoy abordamos la ecuación $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P(x)\, e^{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)\, e^{rx}$$ Ejercicio: Resolver y”+y= e^{2x}, s.a., y(0)=0, y’(0)=2 .

EFM: No homogenea con solución particular polinómica

En esta sesión de hoy hemos abordado el problema de una ED no homogénea donde la componente no homogénea es polinómica. En tal caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)$$ donde Q(x) es un polinomio del mismo grado que la componente no homogénea, y xs es el factor que dependerá de la raíz […]

EFM: ED lineal homogénea de orden 2

Con la idea de analizar la solución de una ED Homogénea de cualquier orden, veamos como lo hacemos con una de orden dos. Para resolver este problema necesitamos las soluciones de la ecuación característica de la ED. Si lo vemos para $$a_2y”+a_1y’+a_0y=0,$$ resultará: $$a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$ Las soluciones de esta ecuación dan la solución general. Para ello […]

EFM: ED lineal homogénea

Definimos una ecuación diferencia lineal homogénea de grado $n$, como una ecuación de la forma $$a_{n}(x)\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\ldots +a_1(x)y’+a_0(x)y=0.$$ En nuestro caso nos centraremos en ecuaciones donde los coeficientes $a_i(x)$ son constantes. Para resolverlas necesitamos la ecuación característica de la ED, que se construye de la forma: $$a_{n} \lambda^n+a_{n}\lambda^{n-1}+\ldots +a_1\lambda+a_0=0.$$ Esta es una ecuacion de coeficientes reales […]

EFM: ED de segundo orden

Analizamos las ecuaciones diferenciales de segundo orden y, para estudiar unos casos sencillos, empezaremos con la resolución de dos tipos de ellas: ecuaciones sin variable dependiente ecuaciones sin variable independiente Para el primer tipo, ecuaciones de la forma $F(x,y’,y”)=0$, hacemos el cambio $y’=p$, y, $y”=\frac{dp}{dx}$, obteniendo una función de primer orden $f(x,p,p’)=0$. Ejercicio: Resolver la […]

EFM: ED de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$ donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo. Para resolverlas es suficiente con plantear el cambio de variable $u=y^{1-\alpha}$, transformando la ecuación diferencial […]