Ejercicio: Sea el subespacio vectorial de \(S\subset\mathbb{R}^5\) generado por los vectores \(\vec{u}\)(-11,-3,3,5,-1), \(\vec{v}\)(7,2,-2,-3,1) y \(\vec{w}\)(-9,-2,2,5,1) y \(\vec{x}\)(0,-1,1,-2,0). ¿Cuál es la \(\textbf{dim}(S^\perp)\)? Solución: Ejemplo: Sea \(S=\{[[3a+2b,-2a-b],[b,a]]\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\}\). ¿Cuál es la \(\|\textbf{proy}_S([[-1,0],[2,1]])\|\)? Solución: Ejemplo:…
Categoría: Álgebra Lineal
ALG: Ejercicios de repaso
Sea A=[[3,1,0],[1,3,0],[0,0,1]], y P la matriz formada por los autovectores(en columna) de la matriz A. ¿Cuánto vale la traza de la matriz \(P.P^t\)? Solución: Cuántos autovectores distintos tiene la matriz \[\left[\begin{smallmatrix}0 &…
ALG: Diagonalización de una matriz
Dado \(\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )\), una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo \(\mathbb {K}\), decimos que \(\mathbf{A}\) es diagonalizable si, y sólo si, \(\mathbf{A}\) se puede descomponer de…
ALG: Autovectores y subespacios propios
El pasado día vimos que para calcular los valores propios o autovalores necesitamos el polinomio característico. Recodad que definíamos los autovectores, o vectores propios, como Recordemos que dada una matriz, \(\mathbf{A}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), decimos…
ALG: Autovectores y autovalores con maxima
Ejemplo: Sea \(A\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]]. ¿Cuántos autovalores reales y distintos tiene? Solución: Recordemos que, para encontrar las raíces enteras del polinomio característico, es muy útil el siguiente resultado: Si \(p(x)=p_0+p_1X+\ldots+p_nX^n\in\mathbb{Z}[X]\) tiene una raíz entera…
ALG: Ortogonalización con maxima
Abordemos una de los procesos más importantes en este tema: Ejemplo: Dar una base ortogonal de la variedad \(S=\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}a+b&3a-b\\ b& -a\end{bmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}\) Solución: Ejemplo: Cuál sería la traza de la matriz…
ALG: Autovectores y autovalores
Denominamos esta parte autovectores y autovalores, también conocidos como vectores y valores propios de una matriz. Su definición es simple: Dada una matriz, \(A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})\), real o compleja, cuerpos que trataremos, decimos que…
ALG: Aplicaciones y matrices ortogonales
Terminamos el tema 7 con las matrices ortogonales. Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar \((\mathcal{E},\bullet)\) que conservan el producto escalar; es decir, \(f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}\),…
ALG: El espacio vectorial euclídeo con maxima
Ejemplo: Calcular \(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\) Solución: Ejemplo: Calcular \(\left( -3 {{x}^{2}}+2 x+1\right) \bullet \left( {{x}^{2}}-x-2\right)\) Solución: Ejemplo: Calcular \(\cos\left(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\right)\) Solución: Ejemplo: Calcular \(\text{dist}\left(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&-1\\ 1&…
ALG: Proyección ortogonal
p>El pasado día veíamos que cuando \(S\) era un subespacio vectorial entonces \[\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}\] Esto implica que para todo vector \(\vec{v}\in \mathcal{E}\) existirán dos únicos vectores \(\vec{u}\in S\) y \(\vec{w}\in S^{\bot}\), tales…