ALG: Autovectores y subespacios propios

El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$ El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$. Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de […]

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ALG: Autovectores y autovalores

Comenzamos explicado que son los valores y vectores propios, o autovalores y autovectores, de una matriz. Hemos aprendido a calcular los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C}$, la matriz cuadrada […]

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ALG: Aplicaciones y matrices ortogonales

Terminamos el tema 7 con las matrices ortogonales. Definimos las aplicaciones ortogonales a las aplicaciones de un espacio vectorial con producto escalar $(\mathcal{E},\bullet)$ que conservan el producto escalar; es decir, $f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}$, es ortogonal si $$f(\vec{x})\bullet f(\vec{y})=\vec{x}\bullet \vec{y},\quad\forall\,\vec{x}, \vec{y}\in\mathcal{E}$$ Propiedades que cumple una aplicación ortogonal: Es lineal Conserva la norma; es decir, $||f(\vec{x})||=||\vec{x}||$ Dos vectores […]

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ALG: Proyección ortogonal

El pasado día veíamos que cuando $S$ era un subespacio vectorial entonces $$\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}$$ Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in \mathcal{E}$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$ Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente. La definición clásica […]

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ALG: Complemento ortogonal

Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $\mathcal{E}$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $\mathcal{E}$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$ Proposición. Si $S\subset E$, es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $S^\bot$ es un subespacio vectorial. Proposición. Si $S,T\subset \mathcal{E}$, son […]

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ALG: Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

El principal resultado de esta sección es el que justifica que de toda base de un subespacio vectorial se puede obtener una base de vectores del mismo subespacio que sean ortogonales y normales. Esta base será una base ortonormal. El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto […]

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ALG: Matriz de Gram y ortogonalidad

El pasado día definimos el producto escalar y la norma de un espacio euclídeo. La métrica que define el producto escalar puede se usada mediante la matriz de Gram. Sea $(E,\bullet)$ el espacio vectorial euclídeo y $B=\{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\}$ una base de $E$, llamamos matriz de Gram, respecto de la base $B$, a la matriz $G=[g_{ij}=\vec{u}_i\bullet \vec{u}_j]$. […]

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ALG: Espacio Euclídeo

p>Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o […]

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ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

En este día hemos tratado la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso […]

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ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Recordad que todo sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) . El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema […]

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