ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia: Relaciones de equivalencia Por ejemplo “Tener el […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango. Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. Se demuestra que […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Inducción matemática

ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como Conjuntos: Subconjunto, Partes de un conjunto, Cardinalidad Unión e Intersección de conjuntos Aplicaciones: Relación. Dominio, rango e imagen. Aplicación inyectiva. Aplicación suprayectivas. Aplicación biyectivas. Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […] […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Conjuntos y Aplicaciones

ALG: Criptografía basada en matrices

El propósito de hoy es ver cómo utilizamos las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultáneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Criptografía basada en matrices

ALG: Factorización LU

La factorización LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. El propósito es dada una matriz $A$ conseguir descomponer esta en un producto $$\textbf{A}=\textbf{L}\textbf{U}$$ de manera $\textbf{L}$ sea triangular inferior y $\textbf{L}$ triangular superior. Recordad que una operación elemental entre filas se puede […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Factorización LU

ALG: Menor y matriz adjunta

El pasado día vimos la definición de manera recursiva de un determinante. En ella definimos los menores de un elemento de una matriz, como los determinantes resultantes de la matriz que queda tras eliminar una fila y una columna. Si consideramos $m_{ij}$ el menor del elemento $a_{ij}$ en la matriz $A$, decimos adjunto del elemento […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Menor y matriz adjunta

ALG: Determinantes

Terminando con las matrices hemos visto como calcular una inversa mediante operaciones elementales. Una vez realizado el paso, continuamos con los determinantes. Para que sea más fácil definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace. La definición clásica y su significado puede verse […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Determinantes

ALG: Matriz inversa

En el día de hoy tratamos de encontrar la inversa de una matriz(cuando existe, claro). Recordad que definimos la inversa de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ como la matriz $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R} o \mathbb{C})$ tal que $$AB=BA=I_n.$$ El procedimiento que damos para calcular la inversa, es el de realizar operaciones elementales entre filas o […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Matriz inversa

ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales: Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ (respectivamente $A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (respectivamente columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

ALG: Matrices

Comenzamos con el tema de Matrices, donde hoy veremos: Definición Matriz columna, matriz fila Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular… Operaciones con matrices Suma de matrices Multiplicación de escalar por matriz. Lo primero será definir las matrices. Llamamos matriz fila a una disposición de $p$ escalares de un cuerpo colocado en una fila por $p$ columnas, […]

Posted in: Álgebra Lineal por admin Comentarios desactivados en ALG: Matrices