Definimos qué es una ecuación diferencial: una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas, y establecemos una clasificación de las mismas atendiendo a criterios de tipo, orden y linealidad.
Os dejo un enlace: Ecuaciones diferenciales.
Las clases de esta semana las dedicaremos a resolver dudas y repasar.
Hoy damos por concluido la teoría de esta asignatura, cerrando el tema con la transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
La transformada de Laplace la utilizamos para resolver ecuaciones diferenciales de forma más sencilla. Os dejo un ejemplo.
Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0. En este caso podemos calcular la derivada respecto de x atendiendo al Teorema de la función implícita. Este nos afirma que, bajo las condiciones estipuladas,
$$\frac{y}{x}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},$$
donde Fx(x,y) y Fy(x,y) son las derivadas parciales de F(x,y) respecto de x e y respectivamente.
Como observaréis generalizar el proceso para más variables es sencillo, sobra fijarnos que para una función implícita F(x,y,z)=0,
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}$$
| Ejercicio: Calcular dy/dx si $x^3+y^3=6xy$. |
Hoy hemos tratado las aplicaciones lineales ortogonales, que son aquellas que conservan el producto escalar. Conjuntamente estudiamos las matrices ortogonales, que son aquellas matrices cuadradas que cumplen que su inversa coincide con la traspuesta.
Además comprobamos que toda matriz real y simétrica es diagonalizable, es más, por una matriz ortogonal. Las características de las matrices ortogonales permite calcular la diagonalización, de este tipo de matrices, de manera muy sencilla:
D=Pt A P
donde, P es una matriz ortogonal y Pt es la traspuesta de P.
| Ejercicio: Encontrar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A=[2 2 1;2 5 2;1 2 2]. |
En esta clase de hoy hemos trabajado con el gradiente. Recordad que si $f : D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}\,$ una función escalar de dos variables, entonces el gradiente de $f$ es la función vectorial $\,\nabla f : D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}\,$ definida por
$$\nabla f(x, y) = (f_x(x, y),
f_y(x, y)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\, \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j}.$$
De manera análoga, si $f$ es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por
$$\,\nabla f(x, y, z) = (f_x(x, y, z), f_y(x, y, z),
f_z(x, y,z)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}} \,\mathbf{i}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial k}
\,\mathbf{k}.$$
El gradiente nos permite redefinir la derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario como
$$D_{\mathbf{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x,
y)\bullet \mathbf{u}.$$
De las propiedades del gradiente que más utilizamos son:
Hoy hemos explicando como calcular los autovectores y autovalores de una matriz, y su relación con la diagonalización. El próximo día veremos que en una matriz real simétrica siempre será diagonalizable.
Podemos ver que mediante MatLab resulta muy sencillo, pero recordad que no se permiten utilizar las funcionas propias del MatLab para calcular los autovalores (eigenvalue) y autovectores (eigenvector).
El procedimiento permitido sería:
La matriz del cambio de paso resulta de colocar los autovectores en columna. Recordad que esto es sólo en el caso de que la matriz sea diagonalizable.
| Ejercicio: Sea D=[5 0 0 0;-2 2 0 0;-1 0 1 1;0 2 -1 1 ], determinar si es diagonalizable
a) en el cuerpo de los números reales, b) en el cuerpo de los números complejos. |
Hoy nos hemos centrado en las series de Fourier. Os de jo un enlace. También hemos tratado la Transformada de Fourier y la de Laplace. El próximo día seguiremos con ellas.
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y f : U → $\mathbb{R}$ una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,…, an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:
$$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) – f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$$
O visto respecto a la derivada direccional:
$$\frac{ \partial}{\partial x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) = \underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}$$
donde $\vec{v}$ es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi). Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.
Dada esta definición hemos deducido propiedades y aplicaciones. Hemos hablado de parciales de orden mayor y diferencial total, terminando con la regla de la cadena:
tenemos una función z=f(x,y) y vemos que es diferencial respecto de x y y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones diferenciales respecto de t. Entonces z es una función de t diferenciable
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
En el siguiente enlace tenéis un sitio donde ver su representación y utilización, Derivada direccional
| Ejercicio: Un circuito simple, compuesto por una resistencia y una batería sigue la ley: I=V/R. Debido al uso de voltaje en la batería cae a una razón de 0.1V/s y debido al calentamiento la resistencia aumenta a una razón de 0.5Ω/s. Cuando R=600Ω e I=0.004A, determine la razón de cambio de la corriente. |
Comenzamos con el tema de Diagonalización, explicado lo que son las matrices semejantes, el significado de diagonalización de una matriz y los valores y vectores propios o autovalores y autovectores como también se les llama.
| Ejercicio: Sea D=[1 1 1;0 1 2;0 0 3], determinar los valores propios y los vectores propios. |