BioMat: Prácticas

Terminamos las clase con una sesión de practicas, donde abordaremos las soluciones de las ecuaciones diferenciales con una herramienta informática.


Bibliografía

  • Capítulo 9 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.

Ejercicio:
Una metapoblación consiste de un grupo de poblaciones de una especie separadas en el espacio que interactúan a cierto nivel. El término fue acuñado por Richar Levins en 1969 para describir un modelo de dinámica de poblaciones de insectos pestes de la agricultura, pero la idea se ha difundido y se aplica más ampliamente a especies presentes en hábitats fragmentados natural o artificialmente. Según Levins «consiste de una población de poblaciones».

El modelo original de Levins se aplicó a una metapoblación distribuida en muchos parches(un término fundamental para la ecología del paisaje, se define como una zona relativamente homogénea que difiere de sus alrededores) de hábitat adecuado con una interacción significativamente menor entre parches que dentro de un parche. La dinámica de la población dentro de un parche se simplificó hasta el punto de que sólo se consideró la presencia y la ausencia. Cada parche de su modelo está poblado o no.

Tomemos una fracción los de parches ocupados en un momento dado, dN. Para esa fracción, durante un tiempo dt, cada parche ocupado, N, puede quedar desocupado con un edt de probabilidad de extinción; es decir, eNdt. Adicionalmente, 1-N de los parches están desocupados. Asumiendo una tasa constante c de generación de propágulos de cada una de los N parches ocupadas, durante un tiempo dt, cada mancha desocupada puede llegar a estar ocupada con una probabilidad de colonización cNdt; por tanto, cN(1-N)dt. Si consideramos la tasa de cambio en el tiempo de las manchas ocupadas, dN/dt, donde c=0.25 y e=0.05, ¿cuál de las siguientes constantes es una aproximación a un valor crítico?

a)-0.2
b)0.5
c)0.8
d)Ninguno de ellos

Posted in: BioMath by admin Comentarios desactivados en BioMat: Prácticas

BioMat: Modelización de procesos biológicos

Muchos procesos biológicos ocurren continuamente a través del tiempo. Algunos ejemplos son el el cambio de concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo de un paciente, o el crecimiento de la masa de organismos individuales. Incluso la dinámica de la población de muchas especies, desde el tamaño de colonias de bacterias del tamaño de la población humana, a veces son mejor modeladas por suponiendo que la cantidad de interés (el tamaño de la población, en este caso) cambia continuamente
a través del tiempo. Las ecuaciones proporcionan una forma conveniente y natural de construir tales modelos.

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivados. Tales ecuaciones surgen en una variedad de situaciones, pero una de las más común es en los modelos de crecimiento de la población.

Entre los modelos de crecimiento de la población encontramos el más sencillo Modelo de Malthus o exponencial:

La velocidad de crecimiento con respecto a la población crece en progresión geométrica, es decir, la tasa de crecimiento es constante.

Lo que nos plantea el problema de valor inicial
$$\left\{\begin{matrix}
p'(t)=ap(t)\\ p'(0)=p_0\end{matrix}\right.,$$

que nos plantea la solución $p(t)=p_0e^{at}$. Para cualquier valor de a, podemos garantizar la positividad de la solución, es decir, $p(t)$ mayor que 0 para todo $t$ mayor o igual que cero. Además, si $a$ es mayor que 0, $p(t)$ es creciente t positivo. En cambio, si $a$ es negativo tenemos que $p(t)$ es decreciente para todo $t$ positivo. Derivando la primera derivada obtenemos: $$\frac{d^2p}{dt^2}(t) = a^2 p(t).$$
Entonces $p(t)$ es estrictamente convexa para cualquier valor de a, siempre que $p_0$ mayor que 0.

El modelo de Malthus tiene distintas aplicaciones dependiendo del signo de $a$. Por ejemplo, cuando la constante de proporcionalidad es positiva se usa para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas de bacterias en un disco de Petri durante un intervalo corto de tiempo. Si por el contrario a < 0, se utiliza para calcular la vida media o semivida de una medicina, es decir, el tiempo que tarda el organismo en eliminar la mitad del fármaco. Este modelo también está asociado a problemas de desintegración radiactiva.

El problema se hace un poco más complejo si $a(t)$ es una función, pero nosotros no abordaremos este problema. Sin embargo, si trataremos el conocido como modelo logístico.

Este modelo se basa en la función logística, una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones. En concreto para el crecimiento de una población considera que:

  • la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
  • la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si $P$ representa el tamaño de la población y $t$ representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$$

donde la constante $r$ define la tasa de crecimiento y $K$, es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística. Con una población inicial $P_{0}$:

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}}$$

donde ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K.}$


Bibliografía

  • Capítulo 9 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.

Ejercicio: Consideremos que el crecimiento una determinada población se rige por el modelo logístico ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0.08P\left(1-{\frac {P}{1000}}\right)}$, con $P(0)=100$. ¿En qué momento la población llega a 900? Aproximadamente en $t$
a)55
b)46
c)35
d)Ninguno de ellos
Posted in: BioMath by admin Comentarios desactivados en BioMat: Modelización de procesos biológicos

ALG: Repaso

Hoy repasamos ejercicios.

 

Ejercicio: Consideremos la matriz $\mathbf{A}=\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{smallmatrix}\right]$. Entonces $\mathbf{A}^7$
a)$\left[\begin{smallmatrix} 6553 & 6554 \\ * & 9830\end{smallmatrix}\right]$
b)$\left[\begin{smallmatrix} 6553 & * \\ 9258 & 9830\end{smallmatrix}\right]$
c)$\left[\begin{smallmatrix} * & 6553 \\ 9831 & *\end{smallmatrix}\right]$
Posted in: Álgebra Lineal by admin Comentarios desactivados en ALG: Repaso

ALG: Matrices diagonalizables

Si el pasado día vimos cómo diagonalizar una matriz hoy veremos algunas de sus propiedades.
Recordemos que dado $\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades: Si $\mathbf{A}$ es diagonalizable mediante $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$, entonces:

  • $$\mathbf{A}^n=\mathbf{P}\mathbf{D}^n\mathbf{P}^{-1}$$
  • Como $e^\mathbf{A}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {{\mathbf {A}}^{k}}{k!}}$, es $$e^{{\mathbf {A}}}={\mathbf {P}}e^{{\mathbf {D}}}{\mathbf {P}}^{{-1}}$$

Cónicas

Otra aplicación importante es en el estudios de las cónicas. Una cónica es por definición el lugar geométrico de la ecuación:
$$ax^2+by^2+2cxy+dy+fx=e$$
que equivale a
$$[x\,\,y]\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}+[d \,\,f]\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=e$$
Como la matriz $A=\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}$ es diagonalizable, existirá $A=PDP^t$, de modo que
$$e=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]\vec{v}=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]PP^t\vec{v}$$
Si ponemos $P^t\vec{v}=\vec{u}$, la cónica quedará como:
$$e=\vec{u}^tD\vec{u}+[d\,\, f]P\vec{u}.$$
De donde podremos ver que $$e=\lambda_1 \vec{u}_1^2+\lambda_2 \vec{u}_2^2+\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2,$$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de $A$ y $\vec{u}_i$ van en la dirección de la base ortonormal de los autovectores de $A$.

 

Ejercicio: Consideremos la matriz $\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{smallmatrix}\right]$. ¿cuál de la siguientes matrices es una matriz que la diagonaliza:
a)$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{smallmatrix}\right]$
b)$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{smallmatrix}\right]$
c)$\left[\begin{smallmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right]$

Posted in: Álgebra Lineal by admin Comentarios desactivados en ALG: Matrices diagonalizables

BioMat: ED autónomas

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable dependiente no aparece explícitamente es autónoma. Si el símbolo x identifica a la variable independiente, entonces una ecuación diferencial autónoma de primer orden puede expresarse como $F(y, y’) = 0$ o en la forma normal como
$$\frac{dy}{dt}=f(y).(1)$$
A lo largo del siguiente tema asumiremos que tanto $f$ como su derivada son funciones continuas de $y$ sobre cierto intervalo I.

Estas ED tiene especial interés porque aparecen en muchos modelos biológicos.

Los ceros de la función $f$ en la ecuación (1) son de especial importancia. Se dice que un número real $c$ es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (1) si representa un cero de $f$, es decir, $f (c) = 0$. Un punto crítico también se denomina punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante $y(x) =c$ en (1), entonces ambos lados de la ecuación equivalen a cero. Esto nos da una propiedad importante:

Si c es un punto crítico de (1), entonces $y(x) = c$ es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma.

A la solución constante $y(x) = c$ de (1) se le denomina solución de equilibrio; las de equilibrio son las únicas soluciones constantes de (1).

Si una ecuación diferencial de primer orden es autónoma, entonces observamos, partiendo del lado derecho de su forma normal dy/dx = f (y), que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos localizados en el cuadriculado rectangular utilizado para construir el campo de direcciones de la ecuación diferencial dependen únicamente de la coordenada y de los puntos. En otras palabras, los elementos lineales que atraviesen los puntos de cualquier línea horizontal deben tener la misma pendiente; las pendientes de los elementos lineales ubicados a lo largo de cualquier línea vertical, por supuesto, variarán.

Campo de direccionesDe <a href=»//commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Boen&amp;action=edit&amp;redlink=1″ class=»new» title=»User:Boen (page does not exist)»>Boen</a> – <span class=»int-own-work» lang=»es»>Trabajo propio</span>, Dominio público, Enlace


Bibliografía

  • Capítulo 7 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciencese, de James Stewart.

Ejercicio: Para qué valores de $a$ el punto de equilibrio de la ecuación $y’=1+ay$, asumiendo que $a\neq 0$, es localmente estable

a)cuando $a$ es positiva

b)cuando $a$ es negativa

c)en ningún caso.
Posted in: BioMath by admin Comentarios desactivados en BioMat: ED autónomas

ALG: Diagonalización de una matriz

Dado $\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1},$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal.

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz. Sea, por tanto, $\mathbf{A}$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica es igual a $n$; $b)$ para todo autovalor $\lambda_i$, la dimensión del subespacio $\mathcal{C}_{\lambda_i}$ coincide con la multiplicidad del autovalor $\lambda_i$ como solución de la ecuación característica de $A$; es decir, $m_g(\lambda_i)= m_a(\lambda)$

Así pues si $\mathbf{A}$ es diagonalizable, será $\mathbf{D}$ una matriz cuya diagonal principal está formada por los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades

Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.

Dadas dos matrices diagonalizables $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$, son conmutables ($\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).

Toda matriz $\mathbf{A}$ de dimensión $n$ y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores de $\mathbf{A}$

El resultado anterior nos permite formular la definición de diagonalización ortogonal o matriz ortogonalmente diagonalizable: Una matriz cuadrada se dice que es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si es diagonalizable mediante una matriz de $\mathbf{P}$ ortogonal. Por tanto, si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si se puede encontrar una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores ortonormales de $\mathbf{A}$ (que compondrán las columnas de la matriz $\mathbf{P}$).

Teorema: Una matriz es ortogonalmente diagonalizable si, y solo si, es simétrica.

Observemos que, aunque podemos hacer ortogonales los autovectores conseguido, no nos garantiza que la la matriz formada por ellos sea ortogonal. Eso solo se producirá en el caso de ser una matriz simétrica.

 

Ejercicio: Consideremos la matriz $\left[\begin{smallmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{smallmatrix}\right]$. Podemos afirmar que:
a)Todos sus autovalores tiene multiplicada geométrica igual a 1.
b)Hay una autovalor con multiplicidad geométrica igual a 2.
c)Hay una autovalor con multiplicidad algebraica menor que su multiplicada geométrica.

Posted in: Álgebra Lineal by admin Comentarios desactivados en ALG: Diagonalización de una matriz

BioMat: Ecuación de Bernoulli

Hoy repasamos este tipo de ecuaciones.

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$ donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo.

Recordad que si $n\in\mathbb{R}-\{0,1\}$, podemos considerar $z=y^{1-n}$, resulta $z’=-\frac{n-1}{y^n}y’$, y la ecuación anterior se puede expresar como $$z’+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),$$ una ecuación diferencial lineal.


Bibliografía

  • Capítulo 9 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.

Ejercicio: El modelo de crecimiento de von Bertalanffy, plantea un modelo matemático de la población de peces, en concreto la predicción del crecimiento de un tipo de pez: $$\frac{dW}{dt}=\alpha W^{\frac{2}{3}}-\beta W,$$ donde $W=W(t)$ representa el peso del un pez, y $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas.Si $\alpha=\beta=1$ y $W(0)=0$, entonces $\lim_{t\to\infty}W(t)$ es igual a
a)0
b)1
c)$\infty$
d)Ninguno de ellos
Posted in: BioMath by admin Comentarios desactivados en BioMat: Ecuación de Bernoulli

BioMat: Tutorías

La clase de hoya la hemos dejado para resolver dudas y tratar las tareas pendientes.

Os dejo el siguiente ejercicio para practicar:

Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales es lineal?.
a)$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos(y)+\sin(2y)}$
b)$y’+xy^2=\sqrt{x}$
c)$y’=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
d)Ninguna de ellas
Posted in: BioMath by admin Comentarios desactivados en BioMat: Tutorías

ALG: Mínimos cuadrados

El capítulo de ortogonalización lo cerraremos con el método de mínimos cuadrados. Este método nos proporciona una herramienta muy interesante a la hora de abordad un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Recordemos que todo sistema podemos plantearlo en su forma matricial como
$$ A\ x=\ \textbf{b},$$
donde $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $x\in\mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})$ y $\textbf{b}\in\mathcal{M}_{m\times 1}(\mathbb{R})$.

Cuando se necesita una solución pero no hay ninguna, lo mejor que puede hacerse es encontrar una solución $x$ que deje a $A\ x$ tan cercana a $\textbf{b}$ como sea posible.

Sea $ A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $ x^t\in\mathbb{R}^n$ y $\textbf{b}^t\in\mathbb{R}^m$, llamamos solución por mínimos cuadrados de la ecuación, a una aproximación $ \hat{x}^t\in\mathbb{R}^n$, tal que
$$
\parallel\textbf{b}-A\ \hat{x}\parallel\leq \parallel \textbf{b}-A\ x\parallel\ \forall\ x^t\in\mathbb{R}^n.
$$

El conjunto de soluciones por mínimos cuadrados de $ A\ x=\ \textbf{b}$ coincide con el conjunto no vacío de soluciones de
$$ A^t A\ x=\ A^t\textbf{b},$$

De la propiedad anterior se deduce un resultado concluyente:

Si las columnas de $A$ son linealmente independientes, entonces $A^t A$ es invertible y la ecuación $A\ x=\ \textbf{b}$ tiene solamente una solución por mínimos cuadrados dada por
$$ \hat{x}=\ (A^t A)^{-1} A^t\textbf{b}.$$

Esta forma de calcular la solución por mínimos cuadrados sería equivalente a considerar $\bar{A}$ el subespacio vectorial de $\mathbb{R}^m$ generado por los vectores columna de $A$ y determinar
$$ \hat{\textbf{b}}=proy_{\bar{A}}(\textbf{b}).$$
Entonces
$$ A\ \hat{x}=\ \hat{\textbf{b}}.$$

Podéis ver más información en el Capítulo 6 del libro Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4º edición, David C. Lay. Pearson.

Ejercicio: Cuál es el error de una solución por mínimos cuadrados del sistema incompatible
$$\begin{array}{r}
-x +2y=4, \\
2x-3y=1, \\
-x+3y=2.
\end{array}$$
a)$\sqrt{11}$
b)$\sqrt{5}$
c)$\sqrt{21}$

Posted in: Álgebra Lineal by admin Comentarios desactivados en ALG: Mínimos cuadrados

ALG: Autovectores y subespacios propios

El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$

El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$.

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.

Así al número de veces que un autovalor λ se repite como raíz del polinomio característico se le llama multiplicidad algebraica y se representa por $m_a(\lambda)$. Y al número máximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor λ, es decir la dimensión del subespacio propio $\mathcal{C}_\lambda$, se le llama multiplicidad geométrica de λ y se representa por $m_g(\lambda)$. Estos dos números están relacionados por una desigualdad: $$m_g(\lambda)\leqslant m_a(\lambda)$$

 

Ejercicio: ¿Cuántos autovalores reales tiene la matriz $\left[\begin{smallmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]$ ?
a)1
b)2
c)3

Posted in: Álgebra Lineal by admin Comentarios desactivados en ALG: Autovectores y subespacios propios