ALG: Espacios vectoriales

El pasado día vimos definiciones de grupo, anillo y cuerpo. Las tres son extensiones para poder construir las estructuras con las que trabajaremos. Otra muy especial es la de Espacio Vectorial sobre un cuerpo.

Un espacio vectorial, $V$, sobre un cuerpo,$\mathbb{K}$, será una terna, $(V,+,\cdot)$, que verifica:

  1. $(V,+)$ es un grupo conmutativo
  2. Existe una aplicación, $\cdot\,:\mathbb{K}\times V\to V$,(denominada producto por escalar) que cumple
    1. $ a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(ab)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V$
    2. Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en $\mathbb{K}$, entonces, $1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V$
    3. $a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(a\cdot \mathbf {v} )+(a\cdot \mathbf {w} )\quad \forall a\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$
    4. $(a+b)\cdot \mathbf {v} =(a\cdot \mathbf {v} )+(b\cdot \mathbf {v} )\quad \forall a,b\in \mathbb{K}\;\forall \mathbf {v} \in V$

Nos manejaremos con más asiduidad con los subesapcios vectoriales.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$, y $U\subset V$ no vacío, $U$ es un subespacio vectorial de $V$ si:

  1. $\forall \mathbf {v},\mathbf {u} \in U$, $\mathbf {v}+\mathbf {u} \in U$
  2. $\forall \mathbf {u}\in U$, $\forall a\in \mathbb{K}$, $a\mathbf {u}\in U$

También haremos hincapié en:

  • Sistema generador
  • Combinación lineal
  • Dependencia lineal
  • Base

Para este tema podéis consultar el libro
ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

nos planteamos si un vector cualesquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjuntos de vectores del sistema.

Cualquier vector perteneciente a un sistema generador,$\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>$ decimos que es combinación lineal de los vectores del sistema. En general, un vector $\vec{v}$ decimos que es combinación lineal de un conjunto de vectores $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n$,
$$\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>$$

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, $\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V$ , decimos que es libre si ningún vector es combinación vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los únicos escalares, $k_1,k_2,…,k_n\in\mathbb{K}$, tales que justifican,
$$k_1\vec{v}_1+\cdots +k_n \vec{v}_n=\vec{0},$$
son $k_1=k_2=\ldots=k_n=0$.

Indistintamente decimos sistema libre o vectores linealmente independientes. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos linealmente dependientes; es decir, algún vector es combinación lineal de los otros.

Dentro de los espacio vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos, los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que además son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos base de un espacio vectorial: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es

  • sistema generador, y
  • linealmente independiente

Al número de vectores de una base de denominamos dimensión del espacio vectorial. Recordemos que siempre estamos tratando con $\mathbb{K}$-e.v finitamente generados.

Uno de los principales resultados es que en todo $\mathbb{K}$-e.v finitamente generados podemos encontrar una base. Así, pues, en un $\mathbb{K}$-e.v finitamente generado de dimensión $n$ un conjunto de $n$ vectores linealmente independiente siempre son base. Además la base no tiene por qué ser única.

Ejercicio:Probar que en el espacio vectorial sobre los reales de las funciones continuas, $\mathcal{C}[0,\pi]$, conjunto $C=\{f(x)=x^2,g(x)=e^x,h(x)=\sin(x)\}$ es un sistema libre.
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ALG: Anillos y cuerpos

El pasado día se introdujo los grupos, hoy hablaremos de Anillos y Cuerpos.

Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.

Comentando anillo como $\mathbb{R}[X]$,el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos como podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorización de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.

Viendo el anillo $\mathbb{C}[X]$, enunciamos el teorema fundamental del álgebra. Llegando a la conclusión que todo polinomio real puede tener raíces reales y complejas, apareciendo estas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una raíz real.

La definición de un homomorfismo entre grupos podemos extenderla a un anillo. Un homomorfismo de anillos será una aplicación $f:(A_1,+,\cdot)\to (A_2,\oplus,*)$ que verifica:
$$
\begin{array}{ll}
i) & f(v+w)=f(v)\oplus f(w)\\
ii) & f(v\cdot w)=f(v) * f(w)
\end{array}
$$

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA LINEAL Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook

Además aquí disponéis de link instructivos:

 

Ejercicio: Probar que $(\mathbb{R},*)$, donde se define la ley de composición interna $*$ siguiente $$x * y=\sqrt[3]{x^3+y^3},$$ tiene estructura de grupo conmutativo.
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EFM: Ecuaciones sin variable independiente

El pasado día ya hablemos de ellas. Hoy incidimos para explicarlas mejor.

Ahora las ecuaciones son de la forma $F(y,y’,y”)=0$, hacemos el cambio $y’=p$, con la difernecia siguiente:
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dy}\,\,\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy},$$
obteniendo una función de primer orden $f(y,p,p’)=0$.

Ejercicio: Resolver la ecuación yy”=(y’)2.
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ALG: Homomorfismo

Además definimos un homomorfismo entre grupos como una aplicación que conserva la operación interna; es decir, sean $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$ dos grupos, y $f$ una aplicación $f:G_1\to G_2$. $f$ es un homomorfismo si verifica: $$f(v*w)=f(v)\circ f(w).$$

Establecer un homomorfimos entre dos grupos no permite utilizar ciertas propiedades muy útiles:

Dados los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, $f:G_1\to G_2$, si existe un homomorfismo entre ellos se cumple:

  • $f(e_{G_1})=e_{G_2}$, siendo $e_{G_1}$ y $e_{G_2}$ los elementos neutros de $G_1$ y $G_2$, respectivamente
  • $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}, \forall a\in G_1 $

Otra definición muy interesante es la de núcleo de un homomorfismo. Definimos núcleo de un homomorfismo,$f:G_1\to G_2$, y lo notaremos como $Ker(f)$, al conjunto
$$Ker(f)=\{a\in G_1;\, f(a)=e_{G_2}\}$$

Propiedad: Si $f:G_1\to G_2$, es un homomorfismo entre los grupos $(G_1,*)$ y $(G_2,\circ)$, entonces es inyectivo si, y solo si, $Ker(f)=\{e_{G_1}\}$

A un homomorfismo inyectivo lo llamamos monomorfismo. Si es suprayectivo se denomina epimorfismo, y en caso de ser ambos es isomorfismo.

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA BÁSICA Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook
Ejercicio: Probar que la aplicación $f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{R}_0,\cdot)$, definida mediante $$f(n)=e^n$$ es un homomorfismo de grupos.
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EFM: ED de segundo orden

Analizamos las ecuaciones diferenciales de segundo orden y, para estudiar unos casos sencillos, empezaremos con la resolución de dos tipos de ellas:

  • ecuaciones sin variable dependiente
  • ecuaciones sin variable independiente

Para el primer tipo, ecuaciones de la forma $F(x,y’,y”)=0$, hacemos el cambio $y’=p$, y, $y”=\frac{dp}{dx}$, obteniendo una función de primer orden $f(x,p,p’)=0$.

Ejercicio: Resolver la ecuación yy”+(y’)2-2yy’=0.
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ALG: Relaciones, operaciones internas y grupos

Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equipara unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:

  • Relaciones de equivalencia
    • Por ejemplo “Tener el mismo resto al dividir por 5″ es una relación de equivalencia entre los números enteros.
  • Leyes de composición internas(operación interna), elemento neutro,elemento simétrico.
    • Un ejemplo sería el conjunto de los números reales con la operación interna, ∗, dada por a∗b=a+b−ab, preguntándonos si es una ley de composición interna; si tiene elemento neutro, simétrico…
    • Otros ejemplos podéis verlos en Ley de Composicion Interna

Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras básicas con las que trabajaremos: Grupo

Así definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico. Es decir, $G$ con la operación interna $\circ$, $(G,\circ)$, es un grupo sí

  • $\circ$ es asociativa
  • Exite $e\in G$, tal que para todo $a\in G$, es $e\circ a=a\circ e=a$
  • Para todo $a\in G$, existe $b\in G$ tal que $b\circ a=a\circ b=e$

Si existe un elemento $b\in G$, tal que $b\circ a=a\circ b=e$, donde $e\in G$ es el elemento neutro de $G$, se dice que $b$ es el simétrico de $a$. En caso que utilicemos la notación aditiva, al simétrico se le designa por opuesto y se escribe como $-a$. Y si utilizamos la notación multiplicativa, al simétrico se le dice inverso y se escribe como $a^{-1}$.

Igual que hemos definido un grupo podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen

Proposición: Sea $S\subseteq G$, donde $(G,\circ)$ es un grupo, entonces $(S,\circ)$ es un subgrupo de $(G,\circ)$ sii
$ a,b\in S\Rightarrow a\circ b^{-1}\in S$

Para este tema podéis consultar el libro

  • ÁLGEBRA BÁSICA Definiciones, Teoremas y Resultados, Juan De Burgos Román, ingebook
Ejercicio: En el conjunto $2\mathbb{Z}=\{x\in\mathbb{Z}|x=2k, k\in\mathbb{Z}\}$ se define la ley de composición interna $*$ siguiente $$x * y=x+y-(xy)/2$$ Hallar los elementos de $2\mathbb{Z}$ que poseen simétrico.
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ALG: Inducción matemática

Hoy hemos incidido en la inducción matemática. Recordemos que
el razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema de inducción matemática es como sigue. Llamemos $P_n$ a la proposición, donde $n$ es el rango.

  • Se demuestra que $P_0$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
  • Se demuestra que si se asume $P_k$ como cierta y como hipótesis inductiva, entonces $P_{k+1}$lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural $n$ (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que $P_n$ es cierto para todo natural $n$.

La inducción puede empezar por otro término que $P_0$, digamos por $P_{n_0}$. Entonces $P_n$ será válido a partir del número $n_0$, es decir, para todo natural $n \ge n_0$.

Ejercicio: Si C es un conjunto finito de n elementos,|C|=n, ¿cuántos elementos contiene las partes de C,℘(C)?
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EFM: ED de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$ donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo.

Para resolverlas es suficiente con plantear el cambio de variable $u=y^{1-\alpha}$, transformando la ecuación diferencial en una de tipo lineal.

Un curiosidad de esta ecuación es que si $n>1$ podemos considerar $z=y^{1-n}$, resulta $z’=-\frac{n-1}{y^n}y’$, y la ecuación anterior se puede expresar como $$z’+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),$$ una ecuación diferencial lineal.

 

Ejercicio: El modelo de crecimiento de von Bertalanffy, plantea un modelo matemático de la población de peces, en concreto la predicción del crecimiento de un tipo de pez: $$\frac{dW}{dt}=\alpha W^{\frac{2}{3}}-\beta W,$$ donde $W=W(t)$ representa el peso del un pez, y $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas.Calcula la solución general de la ecuación y una solución para el problema de valor inicial $W(0)=0$.
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ALG: Conjuntos y Aplicaciones

Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como

  • Conjuntos:
    • Subconjunto,
    • Partes de un conjunto,
    • Cardinalidad
    • Unión e Intersección de conjuntos
  • Aplicaciones:
    • Relación.
    • Dominio,
    • rango e imagen.
    • Aplicación inyectiva.
    • Aplicación suprayectivas.
    • Aplicación biyectivas.

Lectura recomendada: ÁLGEBRA BÁSICA, Conjuntos y Estructuras Algebraicas, […]

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ALG: Criptografía basada en matrices

Hoy hemos visto cómo podemos utilizar las matrices para codificar un mensaje. En 1929, Lester S. Hill publicó un artículo en el que enseñaba a cómo utilizar el álgebra lineal para construir un sistema criptografico polialfabético que era práctico para trabajar con mas de tres símbolos simultaneamente. Este sistema polialfabético permitía dar un mismo caracter en un mensaje a enviar que se encripte en dos caracteres distintos en el mensaje encriptado. Este sistema se denomina Criptosistema de Hill y fue el detonante para los modernos sistemas criptográficos.

Os dejo unos ejemplos de cómo funciona:

 

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