ALG: Complemento ortogonal

En el día de hoy hemos trabajado con varias conceptos que nos ayudaran más adelante.
Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $E$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $E$ a $$S^\bot=\{\vec{v}\in E|\;<\vec{v},\vec{u}>=0\,\forall \vec{u}\in S\}$$

El ortogonal de un conjunto cumple propiedades muy interesantes, como que es un subespacio vectorial, y cuando $S$ es un subespacio vectorial entonces $$E=S\oplus S^{\bot}$$

Esto implica que para todo vector $\vec{v}\in E$ existirán dos únicos vectores $\vec{u}\in S$ y $\vec{w}\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.$$

Estos vectores $\vec{u}$ o $\vec{w}$ son lo que llamamos proyecciones ortogonales de $\vec{v}$ sobre $S$ o $S^{\bot}$ respectivamente.

La definición clásica nos dice que si $S\subset E$, un subespacio vectorial de un espacio euclídeo, para nuestros casos finitamente generado, llamamos proyección ortogonal del vector $\vec{v}$ sobre el subespacio $S$, al único vector $\vec{u}\in S$ talque $\vec{v}-\vec{u}\in S^{\bot}$.

A la aplicación $proy_S:E\to S$ que a cada vector de E le hace corresponder su proyección ortogonal sobre $S$, se le denomina del mismo modo: proyección ortogonal.

Veamos un método para calcular la proyección ortogonal. Primero empezamos con la proyección sobre un vector. Si $S=<\vec{s}>$; es decir, es una recta, entonces $$proy_\vec{s}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{s}}{\parallel\vec{s}\parallel^2}\vec{s}.$$

Extenderlo a cualquier subespacio es sencillo, solo necesitamos una base ortogonal del subespacio: Sea $\{\vec{u}_1,\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m\}$ una base ortogonal de $S$, entonces
$$proy_S(\vec{v})=\sum_{i=1}^m\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}_i}{\parallel\vec{u}_i\parallel^2}\vec{u}_i.$$
Si además la base es ortonormal la expresión se reduce mucho:
$$proy_S(\vec{v})=(\vec{v}\bullet\vec{u}_i)\vec{u}_1+(\vec{v}\bullet\vec{u}_2)\vec{u}_2+\ldots+(\vec{v}\bullet\vec{u}_m)\vec{u}_m.$$

El propósito es determinar dado un subespacio vectorial $S\subset\mathbb{R}^n$ y un vector, o punto, $\vec{v}\in\mathbb{R}^n$, minimizar la distancia de $\vec{v}$ a cualquier $\vec{s}\in S$. Para conseguirlo utilizamos el siguiente resultado:

Teorema: Sea $S\subset\mathbb{R}^n$ un sube.v., $\vec{v}\in\mathbb{R}^n$ y $\vec{s}\in S$, son equivalentes

  1. $\vec{s}\in S$ es la proyección ortogonal de $\vec{v}$ sobre $S$, $proy_S(\vec{v})$; es decir, $\vec{v}-\vec{s}\in S^{\bot}$
  2. $\vec{s}\in S$ es la mejor aproximación de $\vec{v}$ sobre $S$; es decir,$\parallel \vec{v}-\vec{s}\parallel\leq \parallel \vec{v}-\vec{w}\parallel\,\forall \vec{w}\in S$
Ejercicio: Hallar el complemento ortogonal del subespacio dado por las ecuaciones implícitas $\pi=\{(x,y,z,t,u)|x+y-t=0,x-z-u=0\}$
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ALG: Espacio Euclídeo

Hoy hemos comenzado con el Tema 7. El tema lo hemos llamado Ortogonalización, aunque es una parte del el más genérico que sería Espacio Vectorial Euclídeo. El propósito de este tema es dar a un espacio vectorial la herramientas para poder establecer una distancia entre vectores y conseguir encontrar la distancia mínima entre subespacios o variedadas.

Objetivos

  • Conocer y saber determinar un producto escalar y sus propiedades.
  • Saber calcular la matriz de Gram o métrica de un producto escalar
  • Conocer y saber determinar la norma de un vector y sus propiedades.
  • Conocer y determinar vectores ortogonales y ortonormales y sus propiedades.
  • Calcular bases ortonormales.
  • Conocer el espacio vectorial euclídeo canónico Rn
  • Conocer y determinar una proyección ortogonal de un vector.
  • Saber calcular el complemento ortogonal de un subespacio y sus propiedades.
  • Conocer y saber calcular transformaciones y matrices ortogonal y sus propiedades

Para ello comenzamos con la definición del producto escalar en un espacio vectorial, la norma de un vector, distancia entre dos vectores y el ángulo de dos vectores.

Recordad que este tema lo estamos basando en el Capítulo 8 del libro Álgebra lineal. Definiciones, Teoremas y Resultados, de Juan de Burgos, Ingebook.

Ejercicio: Sea $\mathbb{R}_2[X]$, el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1]. Probar que la aplicación $p\bullet q$, que dados p=p0+p1x+p2x2, y, q=q0+q1x+q2x2, le hace corresponder

$p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx$

es un producto escalar. Calcular el coseno de los polinomios $p(x)=x^2+2$, $q(x)=x-x^2$

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ALG: Teorema de Rouché-Fröbenius

Recordad que todo sitemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial $$AX=B,$$ donde $A$ es la matriz de coeficiente y $B$ la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena $A$ y$ B$, ($A|B$) .

El Teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

Así un sistema será:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Compatible \\
rang(A)=rang(A|B)
\end{array}\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Determinado \\
rang(A)=\mbox{Número de incógnitas}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
Indeterminado \\
rang(A)<\mbox{Número de incógnitas} \end{array} \\ \end{array}\right.\\ \begin{array}{c} Incompatible \\ rang(A)\neq rang(A|B) \end{array}\\ \end{array}\right. $$ Para resolver un sistema compatible sólo tenemos que encontrar un menor de $A$ distinto de cero y del mismo orden que en rango de $A$. Supongamos que $\bar{A}$ es la submatriz de $A$ cuyo menor es el que buscamos. Entonces $A|B$ se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz $$(A|B)\sim\left(\begin{array}{c} \bar{A}\,\bar{P}\\ 0\end{array}\left|\begin{array}{c} \bar{B}\\ 0\end{array}\right.\right)$$ Donde $\bar{P}$ son o $0$ o las columnas de la martiz $A$ tales que $$rang(A)+\mbox{nºcolumnas}(\bar{P})=\mbox{Número de incógnitas}.$$ De este modo el sistema tendrá por solución $$\bar{X}=inv(\bar{A})\cdot (\bar{B}-\bar{P}K),$$ donde $K$ son las variables, en forma de parámetros, que faltan en el menor de $\bar{A}$, y tales que $X^t=(\bar{X}^t K^t)$.

 

Ejercicio: Discutir cuando el sistema ax+by+z=1, x+3by+z=b, x+by+az=1, es compatible y determinado, dependiendo de los valores de a y b.
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EFM: Sistema de ED

Hoy comenzamos el tema 6, dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales. En general un sistema como

$$X’=AX+B,$$

escrito en forma matricial. A y B son una matrices de funciones, aunque nosotros nos centraremos cuando A sea una matriz de coeficientes constantes y reales.

Para tratar los Sistemas de ED necesitamos repasar el cálculo de los autovalores de una matriz cuadrada. Recordad que para nuestro propósito necesitamos encontrar las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$det(A-\lambda\, I),$$ siendo $A\in\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$, donde $\mathbb{K}$ es $\mathbb{R} ó \mathbb{C})$ la matriz cuadrada y $I$ la indentidad en $\mathcal{C}_n(\mathbb{K})$.

El polinomio p(λ) = det(A – λI) es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n\}$, que se determina resolviendo el sistema homogeneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.

Podéis ver más ejemplos en Linear Algebra/Eigenvalues and Eigenvectors.

El caso más sencillo es cuando la $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tenga $n$ valores propios todos distintos, en tal caso, la solución general será
$$X=c_1\vec{v}_1e^{\lambda_1t}+c_2\vec{v}_2e^{\lambda_2t}+\ldots+c_n\vec{v}_ne^{\lambda_nt},$$ donde $\vec{v}_i$ es el vector propio asociado al valor propio $\lambda_i$.

 

Ejercicio: Resolver el sistema de ED $$X’=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
4 & 1\\
\end{pmatrix}X$$
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ALG: Variedades y Sistemas de Ecuaciones

Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por que serlos, a $\mathbb{R}^n$

Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican.

Además hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de dar sentido a las estructuras que conocemos de unir puntos con vectores. Ahora ya podemos hablar de rectas de puntos en el plano, o planos de puntos en el espacio.

Como en el caso de las variedades lineales podemos encontrar la variedad afín definida por las ecuaciones paramétricas o implícitas.

La introducción de las variadedes nos lleva a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para resolverlas utilizamos las matrices. Así todo sistema de ecuaciones lineales lo podemos plantear como un sistema matricial de la forma Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema, x es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes:

Para tratarlos mejor podemos intentar transformalos en sistemas escalonados, que es resultado de transformar la matriz ampliada [A b], mediante operaciones elementales de fila, en una matriz escalonada. Es te el método que conocemos como método de Gauss.

Los sistemas de ecuaciones más sencillos resultan aquellos que podemos emplear la regla de Cramer.

La importancia de Teorema de Rouché-Frobenius estriba en que determina cuando un sistema tiene solución o no. Este resultado junto con el anterior nos permiten resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones como los ejercicios que hemos realizado.

 

Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas e implícitas de la variedad afín dada por el punto P(1,0,-1,1) y el subespacio generado por los vectores $\vec{v}=(1,1,2,1)$, $\vec{u}=(-1,0,0,1)$.
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EFM: No homogénea con funciones trigonométricas

El siguiente caso trata cuando afrontamos con funciones trigonométricas
$$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P_1(x)\, \cos{rx}+P_2(x)\, \sin{rx},$$
en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^s(Q_1(x)\, \cos{rx}+Q_2(x)\, \sin{rx})$$

Terminamos este apartado estudiando el caso $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=\sum_{i=1}^n f_i(x),$$ donde cada $f_i(x)$ es alguna de las funciones dadas en los casos anteriores. La solución será la suma de las soluciones dadas por la soluciones homogénea y la particular obtenida de la ecuación: $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=f_i(x)$$

PAra terminar os dejo un resumen:

 

Ejercicio: Resolver $y”+y= xe^x+\sin 2x$, s.a., y(0)=0, y’(0)=2.
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ALG: Producto escalar, norma, producto vectorial y mixto

Hoy hemos trabajado con la definición del producto escalar y norma en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, aunque por extensión se puede hacer para $\mathbb{R}^n$. Estas definiciones nos dan pie a definir el ángulo entre dos vectores y el concepto de perpendicularidad.

Además definimos el producto vectorial de dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$, estudiando propiedades que más tarde utilizaremos. Por último hemos definido el producto mixto de tres vectores de $\mathbb{R}^3$.

Además hemos aprendido a expresar de una nueva forma un plano afín en $\mathbb{R}^3$, si $\pi:\{P+\lambda\vec{v}+\mu\vec{u}|P\in\mathbb{R}^3, \vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^3,\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}$, llamamos forma general a $$(x-p_1,y-p_2,z-p_2)\cdot(\vec{v}\times\vec{u})=0.$$

 

Ejercicio: Dados $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in\mathbb{R}^3$, es $\vec{x}\cdot(\vec{y}\times\vec{z})=(\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z}$.
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ALG: el plano afín $\mathbb{R}^2$ y el espacio afín $\mathbb{R}^3$

Hoy comenzamos intentando definir un espacio donde podamos fijar los vectores de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín.

Podemos definir el plano afín $\mathbb{R}^2$ como el conjunto $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto $\mathbb{R}^2$, como $\mathbb{R}$-espacio vectorial, más una aplicación especial $\phi$. Para notar los elementos de $\mathbb{R}^2$, considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos $P=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ escribimos como habitualmente hacemos, $\vec{v}=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2$, y les denominamos vectores del plano. La aplicación $\phi$ irá del producto cartesiano $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ de los puntos en el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$; es decir, relacionará dos puntos con un vector.

Con estos dos conjuntos, la aplicación $\phi$ debe verificar:

  1. $\phi(P,Q)+\phi(Q,R)=\phi(P,R)$ para todo $P,Q,R\in\mathbb{R}^2$
  2. Dado cualquier punto $P\in\mathbb{R}^2$, y cualquier vector $\vec{v}\in\mathbb{R}^2$, existe un único punto $Q\in\mathbb{R}^2$ tal que $\phi(P,Q)=\vec{v}$.

Estas propiedades nos definen a $\mathbb{R}^2$ como un espacio afín sobre el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, que denominamos el plano afín.

Esta definición podemos trasladarla sin problemas al $\mathbb{R}^3$ definiendo el espacio afín.

Con esta definición podemos abordad las variedades afines dadas por la recta en el plano afín, y, la recta y el plano, en el espacio afín. El objetivo de hoy ha sido trabajar con estas variedades, consiguiendo sus ecuaciones paramétricas e implícitas.

Ejercicio: Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos P(-2,1,6) y Q(2,3,4).
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EFM: No homogénea con exponencial

Hoy abordamos la ecuación $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=P(x)\, e^{rx},$$ en cuyo caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)\, e^{rx}$$

Ejercicio: Resolver y”+y= e^{2x}, s.a., y(0)=0, y’(0)=2 .
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EFM: No homogenea con solución particular polinómica

En esta sesión de hoy hemos abordado el problema de una ED no homogénea donde la componente no homogénea es polinómica. En tal caso la solución particular será de la forma $$y_p=x^sQ(x)$$

donde Q(x) es un polinomio del mismo grado que la componente no homogénea, y xs es el factor que dependerá de la raíz de la ecuación característica.

 

Ejercicio: Encontrar yp dada la ecuación y”+2y’+4y=5x4+3x2-x . (sol: 3x4/4-5x3/2+3x2/4+11x/4-7/4)
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