ALG: Semejanza por operaciones elementales en matrices

Hoy comenzamos definiendo semejanza de matrices por transformaciones elementales:

Tomemos $\mathbb{K}$ el cuerpo $\mathbb{R} o \mathbb{C}$, y consideremos $A=[a_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ una matriz y $A(f_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,n}]$ ($A(c_i)=[a_{i1}\ldots a_{i,m}]’$) una de las filas (columnas) de la matriz. Sea $B=[b_{ij}]\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ la matriz tal que $b_{ij}=a_{ij}$ salvo los elementos de la fila $B(f_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,n}]$ ($B(c_i)=[b_{i1}\ldots b_{i,m}]’$) que son $b_{ik}=a_{ik}+\lambda a_{jk}$ para $k=1,\ldots,n$($k=1,\ldots,m$ ) y cierta fila(columna) $j$ y $\lambda\in\mathbb{K}$. Entonces decimos que las matrices $A$ y $B$ son semejantes por transformaciones elementales.

Decimos que una matriz es escalonada, cuando dado una matriz podemos encontrar una matriz semejante por transformaciones elementales que tiene en alguna de sus filas (columnas) todo los elementos cero. La matriz resultante escalonada será la matriz escalonada con mayor número de filas (columnas) todo cero que podamos conseguir.

Con estas definiciones podemos dar el rango de una matriz como el número de filas (columnas) distintas de cero de su matriz escalonada.

Una propiedad interesante es que el rango de una matriz siempre es el mismo, independientemente que se consideren filas o columnas.

Si dos matrices, $A,B\in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$, son semejantes por transformaciones elementales por fila(o columna) entonces existe una matriz $F\in \mathcal{M}_{m\times m}(\mathbb{K})$ ($C\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$) tal que
$$B=FA\,(B=AC).$$
Hemos realizado varios ejercicios buscando esa matriz $F$.

Ejercicio: Dadas la matrices
$A=\begin{bmatrix}-6 & 2&3&1\\ 1&0&-1&0\\ 1&-1&0&2 \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}1& -1& 0& 2\\ 0 & 1&-1&-2\\ 0 & 0&1&-5 \end{bmatrix}$, encontrar la matriz $F$, talque $B=FA$.
Posted in: Álgebra Lineal by admin No Comments

ALG: Matrices

Comenzamos con el tema de Matrices. Lo primero será definir las matrices:

  • Definición

    • Matriz columna, matriz fila
    • Matriz: traspuesta, identidad, cuadrada, triángular…
  • Operaciones con matrices

    • Suma de matrices
    • Multiplicación de escalar por matriz.

Con estas operaciones se cumple: Consideremos $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y $A,B,C\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ el conjunto de los números reales o complejos,

  • $(A+B)+C=A+(B+C)$
  • $A+B=B+A$
  • $A+0=0+A$, siendo 0 la matriz de $m\times n$ elementos todos 0.
  • Existe $B\in M_{m\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+B=B+A=0$, a esta matriz la llamamos opuesta de $A$ y la designamos por $-A$.
  • $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
  • $(\lambda + \mu)A=\lambda A+\mu A$
  • $(\lambda \mu)A=\lambda (\mu A)$

Lo siguiente que hemos visto es la Multiplicación de matrices:
Dadas dos matrices $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ y $B=[b_{ij}]_{n\times p}$ definimos la multiplicación de $A$ por B, denotada por $A\cdot B,\;A\times B,\;A\circ B$ o simplemente $AB$, la matriz $C$:
$$C=AB=[c_{ij}]_{m\times p}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right]$$

Propiedades que cumple la multiplicación de matrices:

  • $(AB)C = A(BC)$
  • $(A + B)C = AC + BC$
  • $C(A + B) = CA + CB$
  • Si A es una matriz cuadrada de tamaño $m$, entonces la matriz identidad $I_{m\times m}$ (que llamamos identidad, o elemento neutro para la multiplicación) de manera que: $I·A = A·I = A$
  • El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, $AB \neq BA$.
Ejercicio: Probar que si $A$ y $B$ son dos matrices que se pueden multiplicar, entonces $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$.
Posted in: Álgebra Lineal by admin No Comments

ALG: Presentación

En la presentación del día de hoy hemos visto

  • Presentación
  • Objetivos de la asignatura
  • Metodología y Evaluación
  • Bibliografía

Objetivos, Metodología y Evaluación

Se detallan en la guía que podéis encontrar en guía de Grado .

 

Bibliográfica

Básica

  • Grossman, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 2008
  • www.ingebook.com

Aconsejable

  • Jorge Arvesu y otros, Problemas resueltos de Álgebra lineal. Thomson, 2005.
  • Luis Merino, Algebra Lineal con métodos elementales, Thomson, 2006
  • José García García y Manuel López Pellicer, Álgebra Lineal y Geometría. Marfil. 1992.
  • Félix García Merayo, Matemática Discreta. Thomson, 2005
Posted in: Álgebra Lineal by admin No Comments

EFM: ED de variables separadas

Afrontamos en este tercer tema cómo resolver ecuaciones diferenciales (ED) de primer orden. Recordad que nosotros trataremos algunos casos. El primero, las ED de variables separadas; es decir, aquellas que se pueden expresar mediante

f(y)dy=g(x)dx.

 

Ejercicio: Resolver la ED, $$\frac{dy}{dx}=\frac{xy+3x-y-3}{xy-2x+4y-8}$$

EFM: Trayectorias ortogonales

Se dice que dos curvas son ortogonales si se interceptan y en los puntos de corte sus rectas tangentes son perpendiculares entre sí. Si todas las curvas de una familia de curvas , son ortogonales a todas las curvas de otra familia , entonces se dice que las familias son cada una, trayectorias ortogonales de la otra.

En el caso de tener una ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx}=f(x,y),$$ determinar cuales son las trayectorias ortogonales a las curvas solución de la ED, es equivalente a encontrar las soluciones de $$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{f(x,y)}$$

 

Ejercicio: Hallar la trayectorias ortogonales a la familia de parábolas $y=cx^2$.

EFM: Concepto de ED. Soluciones.

Hoy hemos visto la definición y tipos de ecuaciones diferenciales, donde trabajamos la definición formal de una ED y clasificando las mismas de acuerdo con su tipo, orden y linealidad; cómo realizar las gráficas de las soluciones de ED; sus tipos de soluciones: trivial, explicitas e implícitas.

Trataremos con más frecuencia las soluciones generales paramétricas de un Problema de valores iniciales y, en algunos casos, veremos soluciones singulares.

Un Problema de valor inicial es una ecuación diferencial $y'(x)=f(x,y(x))$ con $f\colon \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, donde $\Omega$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$, junto con un punto en el dominio de $f$, $(x_{0},y_{0})\in \Omega$ llamada la condición inicial. Una solución a un problema de valor inicial es una función $y$ que es una solución a la ecuación diferencial y satisface
$y(x_{0})=y_{0}$.

Nosotros trabajaremos principalmente con la solución general, una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Como dependiendo del parámetro será una función distinta, decimos familia de soluciones $n$-paramétricas. A veces por abreviar, monoparamétricas, si es de un sólo parámetro; biparamétrica, …

Que existan una solución en particular dependerá de la función $f(x,y)$, de la EDO. El teorema de Picard nos lo confirma:

Sea $f(x,y):\Omega \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ donde $\Omega$ es un abierto, y $f$ una función continua y localmente Lipschitz respecto de $y$. Entonces, dado $(x_{0}, y_{0})\in \Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\alpha }=[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]\subset \mathbb {R} ,\alpha \in \mathbb {R}$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
$$\begin{cases}x’=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases},$$
que cumple que los pares $\in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}$.

Terminamos repasando ejercicios de cómo dadas la familia de soluciones podemos encontrar la ecuación diferencial que la proporciona.

Recordad que para este propósito nos basta con diferenciar: Supongamos $F(x,y(x))=c$ es la familia, en este caso, monoparamétrica de soluciones, si diferenciamos
$$d(F(x,y(x)))=d(c)=0$$
$$\Downarrow$$
$$\partial_xF(x,y)dx+\partial_yF(x,y)dy=0$$
$$\Downarrow$$
$$\partial_xF(x,y)+\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}=0$$
$$\Downarrow$$
$$\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}=-\partial_xF(x,y)$$
$$\Downarrow$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial_xF(x,y)}{\partial_yF(x,y)}$$

 

Ejercicio: Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro $x^3+y^3=3cxy$, se denominan folia de Descartes. Verificar si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden: $$\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^3-2x^3)}{x(2y^3-x^3)}$$

EFM: La ley de enfriamiento de Newton

Continuamos con los ejemplos que nos introducen en las ecuaciones diferenciales. Hoy hemos visto La ley de enfriamiento de Newton. Con ella damos por terminado la introducción a las ecuaciones diferenciales, donde hemos visto su uso y la definición de las mismas.

Ejercicio: Se reconoce comunmente que la tasa o razón con que se difunde una enfermedad no solo es proporcional a la cantidad de personas, $x(t)$, que la han contraído en el momento $t$, sino también a la cantidad de sujetos, $y(t)$, que no han sido expuestos todavía al contagio. Establece la ecuación diferencial del sistema.

EFM: La clepsidra

Estudiamos cómo encontrar la curva que nos proporcione una clepsidra ideal. Además hemos visto como las ecuaciones diferenciales las encontramos al buscar la corriente en circuitos RL, LC o RCL.

EFM: El problema de la velocidad en caída libre

Analizamos cómo planteamos la ecuación que proporciona la velocidad en caída libre y otros ejemplos.

EFM: El problema de De Beaune

Las ecuaciones diferenciales surgieron con la aparición del Cálculo diferencial. Uno de los primeros problemas que se abordó fue el problema de De Beaunehallar una curva cuya subtangente sea constante.

Otro ejemplo que hemos tratado es el problema de la trayectoria de un proyectil según Galileo.