Vamos a terminar la Teoría de números con dos problemas muy relacionados: la factorización de números y el estudio de la primalidad. Factorización de Fermat La factorización de un número se ha…
MAD: Sistemas de ecuaciones
Hoy abordaremos los sistemas de ecuaciones, bien de congruencias o de ecuaciones diofánticas. Sistemas de ecuaciones diofánticas Consideremos que tenemos un sistema de dos ecuaciones diofánticas de tres variables Con lo que…
MAD: Ecu. Diofánticas de tres variables: caso 2
Ayer comenzamos con las ecuación diofánticas de tres variables, abordando la solución cuando se da el Caso 1, hoy nos centraremos en las del Caso 2. Recordemos, si tenemos la ecuación \[ax+by+cz=n,\]…
MAD: Ecuaciones diofánticas de tres variables
El pasado día introducimos las ecuaciones lineales diofánticas. En particular, abordamos la solución de la ecuación \[ax+by=c.\] Ejercicio: Sea \(v\) la menor de las soluciones positivas de 4x+22y=46, ¿cuál es el valor…
MAD: Ecuaciones diofánticas
Ayer abordamos la ecuación de congruencias \(aX\equiv b \pmod{n}\). Observemos que esta ecuación es equivalente a \[aX\equiv b \pmod{n}\Leftrightarrow aX-b=kn,\] para algún \(k\in\mathbb{Z}\). Es decir, las soluciones de \(aX\equiv b \pmod{n}\), están…
MAD: Ecuación de congruencias
Ecuación de congruencias simple Para resolver la ecuación \(aX\equiv b {\pmod {n}}\), \((aX \equiv b (n))\), cuando \(\mathbf{mcd}(a,n)=1\), utilizamos bien solución de Bézout, bien la función \(\varphi\) de Euler. Veamos cómo la…
MAD: Función φ de Euler
El pasado día analizamos la solución de la ecuación \(aX\equiv b {\pmod {n}}\), \((aX \equiv b (n))\), cuando \(\mathbf{mcd}(a,n)=1\), resolviéndola utilizando la solución de Bézout: Ejemplo: Resolver \(5X\equiv 52 {\pmod {53}}\) Solución:…
MAD: Restos potenciales
La ecuación de congruencias \(aX\equiv b {\pmod {m}}\) Uno de nuestros cometido será resolver la ecuación de congruencias \[aX\equiv b {\pmod {m}}\] Esta ecuación tiene una solución fácil de calcular si \(\mathbf{mcd}(a,m)=1\)….
MAD: Congruencias
Utilicemos wiki para definir que entendemos por congruencia: un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros \(a\) y \(b\) tienen el mismo resto al dividirlos por…
MAD: Factorización entera con maxima
Nuestro propósito de hoy será hacer un algoritmo que nos devuelva la factorización de un entero positivo. Utilizando esta factorización resolveremos ejercicios planteados el pasado día. La Criba de Eratóstenes Este procedimiento…