Diario de clases

Hoy repasamos ejercicios.

Si el pasado día vimos cómo diagonalizar una matriz hoy veremos algunas de sus propiedades.
Recordemos que dado $\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades: Si $\mathbf{A}$ es diagonalizable mediante $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}$, entonces:

• $$\mathbf{A}^n=\mathbf{P}\mathbf{D}^n\mathbf{P}^{-1}$$
• Como $e^\mathbf{A}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {{\mathbf {A}}^{k}}{k!}}$, es $$e^{{\mathbf {A}}}={\mathbf {P}}e^{{\mathbf {D}}}{\mathbf {P}}^{{-1}}$$

Cónicas

Otra aplicación importante es en el estudios de las cónicas. Una cónica es por definición el lugar geométrico de la ecuación:
$$ax^2+by^2+2cxy+dy+fx=e$$
que equivale a
$$[x\,\,y]\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}+[d \,\,f]\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=e$$
Como la matriz $A=\begin{bmatrix} a&c\\ c&b\end{bmatrix}$ es diagonalizable, existirá $A=PDP^t$, de modo que
$$e=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]\vec{v}=\vec{v}^tPDP^t\vec{v}+[d\,\, f]PP^t\vec{v}$$
Si ponemos $P^t\vec{v}=\vec{u}$, la cónica quedará como:
$$e=\vec{u}^tD\vec{u}+[d\,\, f]P\vec{u}.$$
De donde podremos ver que $$e=\lambda_1 \vec{u}_1^2+\lambda_2 \vec{u}_2^2+\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2,$$ donde $\lambda_i$ son los autovalores de $A$ y $\vec{u}_i$ van en la dirección de la base ortonormal de los autovectores de $A$.

Dado $\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )$, una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, decimos que $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, $\mathbf{A}$ se puede descomponer de la forma: $$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1},$$
donde $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal.

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz. Sea, por tanto, $\mathbf{A}$ una matriz cuadrada de orden $n$, y sean $\lambda_i$ los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz $\mathbf{A}$ es diagonalizable si, y sólo si, se cumple: $a)$ el número de soluciones de la ecuación característica es igual a $n$; $b)$ para todo autovalor $\lambda_i$, la dimensión del subespacio $\mathcal{C}_{\lambda_i}$ coincide con la multiplicidad del autovalor $\lambda_i$ como solución de la ecuación característica de $A$; es decir, $m_g(\lambda_i)= m_a(\lambda)$

Así pues si $\mathbf{A}$ es diagonalizable, será $\mathbf{D}$ una matriz cuya diagonal principal está formada por los autovalores de $\mathbf{A}$ pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y $\mathbf{P}$ es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en $\mathbf{D}$.

Propiedades

Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.

Dadas dos matrices diagonalizables $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$, son conmutables ($\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).

Toda matriz $\mathbf{A}$ de dimensión $n$ y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores de $\mathbf{A}$

El resultado anterior nos permite formular la definición de diagonalización ortogonal o matriz ortogonalmente diagonalizable: Una matriz cuadrada se dice que es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si es diagonalizable mediante una matriz de $\mathbf{P}$ ortogonal. Por tanto, si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si se puede encontrar una base de $\mathbb{R}^{n}$ formada por autovectores ortonormales de $\mathbf{A}$ (que compondrán las columnas de la matriz $\mathbf{P}$).

Teorema: Una matriz es ortogonalmente diagonalizable si, y solo si, es simétrica.

Observemos que, aunque podemos hacer ortogonales los autovectores conseguido, no nos garantiza que la la matriz formada por ellos sea ortogonal. Eso solo se producirá en el caso de ser una matriz simétrica.

El capítulo de ortogonalización lo cerraremos con el método de mínimos cuadrados. Este método nos proporciona una herramienta muy interesante a la hora de abordad un sistema de ecuaciones que no tiene solución. Recordemos que todo sistema podemos plantearlo en su forma matricial como
$$ A\ x=\ \textbf{b},$$
donde $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $x\in\mathcal{M}_{n\times 1}(\mathbb{R})$ y $\textbf{b}\in\mathcal{M}_{m\times 1}(\mathbb{R})$.

Cuando se necesita una solución pero no hay ninguna, lo mejor que puede hacerse es encontrar una solución $x$ que deje a $A\ x$ tan cercana a $\textbf{b}$ como sea posible.

Sea $ A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$, $ x^t\in\mathbb{R}^n$ y $\textbf{b}^t\in\mathbb{R}^m$, llamamos solución por mínimos cuadrados de la ecuación, a una aproximación $ \hat{x}^t\in\mathbb{R}^n$, tal que
$$
\parallel\textbf{b}-A\ \hat{x}\parallel\leq \parallel \textbf{b}-A\ x\parallel\ \forall\ x^t\in\mathbb{R}^n.
$$

El conjunto de soluciones por mínimos cuadrados de $ A\ x=\ \textbf{b}$ coincide con el conjunto no vacío de soluciones de
$$ A^t A\ x=\ A^t\textbf{b},$$

De la propiedad anterior se deduce un resultado concluyente:

Si las columnas de $A$ son linealmente independientes, entonces $A^t A$ es invertible y la ecuación $A\ x=\ \textbf{b}$ tiene solamente una solución por mínimos cuadrados dada por
$$ \hat{x}=\ (A^t A)^{-1} A^t\textbf{b}.$$

Esta forma de calcular la solución por mínimos cuadrados sería equivalente a considerar $\bar{A}$ el subespacio vectorial de $\mathbb{R}^m$ generado por los vectores columna de $A$ y determinar
$$ \hat{\textbf{b}}=proy_{\bar{A}}(\textbf{b}).$$
Entonces
$$ A\ \hat{x}=\ \hat{\textbf{b}}.$$

Podéis ver más información en el Capítulo 6 del libro Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4º edición, David C. Lay. Pearson.

El pasado día vimos cómo calculábamos los autovalores, las soluciones de la ecuación que plantea el determinante $$p_A(\lambda)=det(A-\lambda\, I),$$

El polinomio $p_A(\lambda)$ es el polinomio característico de $A$.

Cada valor propio tiene asociado un conjunto $\mathcal{C}_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n|A\vec{v}=\lambda\vec{v}\}$, que se determina resolviendo el sistema homogéneo $(A-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}$. Las soluciones de estos sistemas serán los vectores propios de la matriz.

Así al número de veces que un autovalor λ se repite como raíz del polinomio característico se le llama multiplicidad algebraica y se representa por $m_a(\lambda)$. Y al número máximo de autovectores linealmente independientes que tiene asociado un autovalor λ, es decir la dimensión del subespacio propio $\mathcal{C}_\lambda$, se le llama multiplicidad geométrica de λ y se representa por $m_g(\lambda)$. Estos dos números están relacionados por una desigualdad: $$m_g(\lambda)\leqslant m_a(\lambda)$$