Diario de Clases

Hoy comenzamos con el último tema de la asignatura, la integral de línea o curvilínea. Nos referiremos a aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones también se llama integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
• el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
• o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Para comenzar nos centraremos en la integral de linea de un campo escalar. Sea $f:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}$, un campo escalar y la curva $C$ cuya parametrización es $\mathbf{r}(t)=\mathbf{x}(t)\mathbf{i}+\mathbf{y}(t)\mathbf{j}$, con $t\in[a,b]$, definimos la integral de linea sobre la curva $C$ como:
$$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}’(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 }dt$$
Si $f$ es un campo escalar en $\mathbb{R}^2$ y $C$ una curva en el espacio,$\mathbf{r}(t)=\mathbf{x}(t)\mathbf{i}+\mathbf{y}(t)\mathbf{j}+\mathbf{z}(t)\mathbf{k}$, entonces:

$$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}’(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t),\mathbf{z}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 +[\mathbf{z}'(t)]^2}dt$$

Observar que si $f=1$ obtenemos $$\int_C \ ds = \int_a^b  \|\mathbf{r}’(t)\|\, dt$$ que es la longitud de la curva $C$.

Hemos visto como hemos realizado un cambio de variable en una integral triple para resoverla mediante coordendas cilíndricas $$\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho \, d\rho\, d\theta\, dz,$$ o mediante coordenadas esféricas $$\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.$$

Os aconsejo que repaséis este tipo de coordendas: Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.

Continuamos trabajando la integral triple como el volumen de una región delimitada por superficies. A veces es más práctico verlo como la integral doble en una región del plano XY de una función; es decir,

$$V=\iiint_QdV=\iint_R\left(\int_{f(x,y)}^{g(x,y)}dz\right)dA,$$

donde $R$ es la proyección de el corte de ambas superficies en el plano XY.

Después de ver diferentes aplicaciones de la integral doble, hemos comenzado con la definición de integral triple, y su aplicación más inmediata como el volumen de una región del espacio.

$$Volumen=\iiint_Q\,dV$$

Para calcular la integral triple utilizamos
$$\iiint_{Q}\, f(x,y,z) dV = \int_{a}^{b}\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}\, f(x,y,z) dz dy dx$$

Hasta ahora hemos utilizado la integral doble como área de una región del plano o como volumen debajo de una superficie limitada a una región del plano. Hoy hemos visto más aplicaciones:

• La definición de la masa de una lámina plana de densidad variable
• Momentos y centros de masas de una lámina plana de densidad variable
• Definición de área de una superficie